Question

我尝试为自定义数据类型创建自定义线性订单失败，以下是我的代码：

theory Scratch
imports Main 
begin

  datatype st  = Str "string"

  fun solf_str_int:: "string ⇒ int" where
    "solf_str_int str = (if (size str) > 0
                       then int(nat_of_char (hd str) + 1) + 100 *     (solf_str_int (tl str))
                       else 0)"

  fun soflord:: "st ⇒ st ⇒ bool" where
    "soflord s1 s2 = (case s1 of Str ss1 ⇒ (case s2 of Str ss2 ⇒ 
                        (solf_str_int ss1) ≤ (solf_str_int ss2)))"

instantiation st :: linorder
begin
  definition nleq: "less_eq n1 n2 == soflord n1 n2"  
  definition neq: "eq n1 n2 == (n1 ≤ n2) ∧ (n2 ≤ n1)"
  definition nle:  "less n1 n2 == (n1 ≤ n2) ∧ (¬(n1 = n2))" (* ++ *)

  instance proof
    fix n1 n2 x y :: st
    show "n1 ≤ n1" by (simp add:nleq split:st.split)
    show "(n1 ≤ n2) ∨ (n2 ≤ n1)" by (simp add:nleq split:st.split)     (*why is 'by ()' highlited?*)
    (*this fail if I comment line ++ out*)
    show "(x < y) = (x ≤ y ∧ (¬ (y ≤ x)))" by (simp add:nleq neq split:node.split)

  qed
end
end

标有（* ++ *）的定义不正确，如果删除它，最后一个节目会出现问题。

如何更正证明？为什么第二个最后一个节目部分突出显示？

Answer 1

在less_eq的情况下定义类型类（less和linorder）的操作时，只有在推断类型的情况下才能使用重载操作的名称。该操作完全匹配正在定义的重载实例。特别是，如果结果太过笼统，那么这种类型就不是专门的。

less_eq的定义有效，因为soflord将n1和n2的类型限制为st，因此less_eq与类型一起使用st => st => bool，这正是这里所需要的。对于less，类型推断计算最常规的类型'b :: ord => 'b => bool。由于这不是预期的类型st => st => bool，Isabelle并不认为该定义是重载操作的定义，因此抱怨您想要完全重新定义现有操作。如果您根据需要限制类型，则定义按预期工作。

definition nle:  "less n1 (n2 :: st) == (n1 ≤ n2) ∧ (¬(n1 = n2))"

但是，您的定义未在st上定义线性顺序。问题是违反了反对称性。例如，两个字符串Str ''d''和Str [Char Nibble0 Nibble0, Char Nibble0 Nibble0]（即，在代码点0由两个字符组成的字符串）在您的订单中是“等效的”，尽管它们是不同的值。您也尝试在st上定义相等性，但在高阶逻辑中，不能定义相等性。它取决于您构建类型的方式。如果你真的想要根据你的订单识别相同的字符串，你必须首先构造一个商，例如，使用商包。

by(simp ...)的紫色高亮表示证明方法simp仍在运行。在您的情况下，它不会终止，因为simp将继续展开solf_str_int的定义等式：它的右侧包含左侧的实例。我建议您通过=左侧的模式匹配来定义函数。然后，只有当它们可以消耗模式时才使用这些方程。因此，您必须自己触发案例区分（例如使用cases），但您也可以更好地控制自动化策略。

伊莎贝尔：linord证明

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