设计算法以在d-正则图中查找简单循环的长度

Question

我一般理解这个问题，但不知道如何设计和分析问题中的算法。我正在考虑应用某种图搜索算法，如深度优先/广度优先搜索。

更新：这是我尝试过的，从图的任何节点开始（称之为N），访问该节点的每个邻居。现在，我们刚刚访问的N的最后一个邻居（称之为L）访问不是N的L的任何其他邻居？

Answer 1

其他人已经在评论中暗示了可能的解决方案，让我们详细说明。当d<=1时，解决方案是即时的（并且取决于您对周期的确切定义），因此我假设d>1。

一种这样的算法是：

1. 构建从任何顶点V开始的路径。在路径长度d之前，不要允许已经访问过的顶点。
2. 路径长度为d时，请继续向路径添加顶点，但现在只允许顶点与路径的最后d个顶点不同。
3. 当您添加已在路径中使用过的顶点时，请停止。您可以从该顶点开始和结束的路径段创建结果循环。

在（1）和（2）中，通过G是d-正则的事实保证了这种顶点的存在。搜索要添加的顶点时，我们只排除最后d个顶点，即最后一个顶点（U）及其d-1个前辈。 U有d个邻居，因此至少有一个邻居可以使用。

由于条件（3）和G是有限的，因此算法将停止。

在（2）中选择已经访问过的顶点是有意义的，但它并没有改变最坏情况的复杂性。

这给我们n*d的最坏情况复杂性 - 因为我们可能必须访问每个顶点一次并检查它的所有边缘。