自定义树的复杂性顺序

Question

请告诉我下面树的复杂性。 请解释计算过程。

树形结构：

root-＆gt; left-＆gt; right和root-＆gt; right-＆gt; left指向同一个节点。

算法：如果我们遍历正常的inorder遍历树，那么我们将访问一些节点超过1次。

像

node4（2次）0-＆gt; 1-＆gt; 4和0-＆gt; 2-> 4

节点7（3次）0-> 1-> 3-> 7,0-> 1-> 4-> 7-> 2-> 4-> 7 < / p>

上述算法的复杂程度如何？

Answer 1

在图表结构（有向无环图或“DAG”，而不是树）中，遍历将访问除叶节点之外的每个节点的两个子节点。因此，它将访问总共2个 ^h -1个节点（计数重复），其中h是DAG的高​​度。 （图中的高度为5。）

假设DAG已完全填充，则n（DAG中的节点数）必须为h（h + 1）/ 2。 （这是高斯公式，用于求和从1到h的整数。）

Solving n = h(h+1)/2 for h gives us h = (sqrt(8n + 1) - 1)/2，所以访问的节点总数（以n为单位）为2 ^{（sqrt（8n + 1） - 1）/ 2} - 1。

更新

遍历功能如下所示：

def traverse(node):
    if node.left is not None:
        traverse(node.left)
    print(node.data)
    if node.right is not None:
        traverse(node.right)

请注意，traverse并未查看节点的父节点，仅查看其子节点。从traverse的角度来看，一些节点是共享的（因此有两个父节点）是无关紧要的。它无法区分您的DAG和普通二叉树之间的区别。

您DAG的每个内部节点都有两个孩子。因此，从traverse的角度来看，您的DAG与高度为h的完全填充的二叉树相同。高度为h的完全填充的二叉树具有2个 ^h -1个节点。

Answer 2

如果我们逐级检查一个级别越过次数，那么我们将达到低于输出

等级1 - 1次

2级 - 2次

3级 - 4次

4级 - 8次

等级5 - 14次

高达

等级h

总遍历为：1 + 2 + 4 + 8 + 14 + ......高达h水平

将系列分为2个系列：

（1 + 0）+（2 + 0）+（3 + 1）+（4 + 4）+（5 + 9）+ ... h + sqOf（h-2）

装置

1 + 2 + 3 + 4 + ... + h

+

sqOf（1）+ sqOf（2）+ sqOf（3）+ ... + sqOf（h-2）

=＆gt; h（h + 1）/ 2 +（h-2）（h-1）（2h-3）/ 6

所以复杂度的顺序变成了cubeOf（h），其中h是（sqrt（8n + 1） - 1）/ 2（正如rob offoff所解释的那样）