二分图最大匹配的扩展

Question

假设有两个这样的图：

我们的目标是找到两个图之间的匹配对应关系。现在我们使用一种方法来计算两个图之间两个节点的相似性。 w（A，1）表示节点A与右图之间的左图之间的相似性。然后我们可以有这样的表：

我们的目标是计算所有这些节点的最大权重匹配。我们可以使用Kuhn-Munkras算法来解决这个问题。

但现在的问题是，如果我们在两个图中添加边之间的相似性，我们如何计算最大权重匹配。这意味着表格变为：

AA表示节点A，AB表示从A到B的边缘。约束是如果最终结果是节点A与节点1匹配，则边缘AB必须匹配12或13.因此我们可以使用算法像Kuhn-Munkras解决这个问题？如果没有，我们怎样才能找到多项式时间内的最大权重匹配？

Answer 1

假设我们想知道两个图是否是同构的，例如你的例子中的两个。

在第一个图中，我们有边AC和CB，而在第二个图中我们有边13和32。

我们可以设置权重矩阵，以便将第一个边缘映射到第二个边缘时获得高回报。

即。 AC-> 13和AC-> 32以及CB-> 13和CB-> 32都将具有权重1，而所有其他匹配具有权重零。

当且仅当最大权重与权重等于边数相匹配时，图之间存在同构。

因此，您的问题至少与图同构一样困难，因此Kuhn算法不太可能有效地扩展到这种情况。