在矩形矩阵上划分和征服

Question

我为这个问题的模糊性道歉，但我正试图找出一种方法来执行除法和征服矩形矩阵A和B的乘法，使得A = n x m和B = m x p

我已经完成了一些阅读，而Strassen的方法看起来很有希望，但我无法确定如何在矩形矩阵上使用此算法。我已经看到有些人用零填充“padding”来使两个矩阵成为正方形然后“取消填充”结果，但我不清楚unpadding阶段会带来什么。

感谢您的建议！

Answer 1

结果矩阵将在“添加”到操作数矩阵的所有项目上包含零。要返回矩形结果，您只需裁剪结果，即根据操作数的维度获取结果矩阵的左上角。

然而，仅在n，m和p非常接近的情况下，填充本身似乎是明智的。当这些不成比例时，你会进行大量的零矩阵乘法。

例如，如果n = 2m = p，Strassen的算法将乘法划分为m个矩阵的7次乘法。然而，这些乘法中的4个将涉及零矩阵并且不是必需的。

我认为有两种方法可以改善效果：

• 使用填充并记住填充矩阵的哪个部分。然后，对于每个乘法步骤，检查您是否没有乘以零矩阵。如果这样做，结果也将是一个零矩阵，无需计算。这将消除填充所涉及的大部分成本。
• 不要使用填充。 NonSquare_Strassen：将矩形矩阵划分为正方形区域和余数。在方形区域上运行vanilla Strassen。在余数上再次运行NonSquareStrassen。然后，结合这些结果。这种算法很可能比第一种算法更快，但并不容易实现。但是，逻辑与Strassen的方形矩阵算法非常相似。

为简单起见，我会选择第一个选项。

注意： 请记住，您也可以将Strassen方法用于矩形矩阵，并且在某些矩阵大小以下，额外矩阵加法的O（n ^ 2）成本变得更加显着，并且使用常规三次乘法完成小尺寸会更好。这意味着Strassen的方法对于非方形矩阵仍然很容易实现。以上期望您已经实现了方形矩阵的算法。