为什么我从FFT获得偏斜的光谱？ （Matlab的）

Question

我尝试用Matlab找到最强的频率成分。它可以工作，但是如果数据点和周期没有很好地对齐，我需要对数据进行零填充以增加FFT分辨率。到目前为止一切都很好。

问题在于，当我进行零填充时，具有最大功率的频率会发生变化，即使所有内容都很好地对齐，我也希望得到清晰的结果。

这是我的MWE：

Tmax = 1024;
resolution = 1024;
period = 512;

X = linspace(0,Tmax,resolution);
Y = sin(2*pi*X/period);

% N_fft = 2^12; % still fine, max_period is 512
N_fft = 2^13; % now max_period is 546.1333

F = fft(Y,N_fft);
power = abs(F(1:N_fft/2)).^2;

dt = Tmax/resolution;
freq = (0:N_fft/2-1)/N_fft/dt;

[~, ind] = max(power);
max_period = 1/freq(ind)

零填充最多2^12一切正常，但当我将其填充到2^13时，我得到了错误的结果。似乎太多零填充会改变光谱，但我对此表示怀疑。我宁愿期待我的代码中的错误，但我找不到它。我做错了什么？

编辑：看起来光谱偏向低频。零填充只会使其可见：

为什么我的频谱会出现偏差？它不应该是对称的吗？

Answer 1

以下是您所做错事的图解说明（主要是解决问题）。 编辑：这显示每个fft数据点的功率，映射到2 ^ 14数据集的索引。也就是说，在该图上，编号为1,2,3的2 ^ 13数据的索引映射到1,3,5; 2 ^ 12数据的索引编号1,2,3映射到1,5,9;等等。

。 您可以看到“真实”值实际上不应该是512 - 您的索引关闭1或1的一小部分。

Answer 2

它不是代码中的错误。它与DFT的属性有关（因此也就是FFT，它只是DFT的快速版本）。

当您使用零填充时，您可以添加频率分辨率，尤其是在低端。

这里使用正弦波作为测试，因此您基本上使用有限正弦和余弦（参见此处https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform详细信息）对有限长度正弦进行卷积，其频率几乎相同或更低。

如果你正在做一个正确的＆＃34; fft，即从-inf到+ inf进行积分，即使那些低频分量也会给你零FFT系数，但由于你正在进行有限和，这些卷积的结果不是零，因此实际计算的傅立叶变换是不准确的。

Answer 3

TL; DR：使用更好的窗口功能！

长版：

经过进一步搜索，我终于找到了解释。既不是索引问题，也不是零填充添加的额外低频分量。矩形窗口的频率响应与负频率分量相结合是罪魁祸首。我发现了this website解释窗口函数。

我做了更多的情节来解释：

顶部：没有窗口的频率响应：两个 delta峰值，一个在正极，一个在负频率。我总是绘制正面部分，因为我并不期望需要负频率成分。 中：矩形窗函数的频率响应。它相对宽泛，但我并不关心，因为我认为我只有一个峰值。 底部：零填充信号的频率响应。在时域中，这是窗函数和正弦波的乘法。在频域中，这相当于窗函数的频率响应与完美正弦的频率响应的卷积。由于存在两个峰值，因此窗口的相对较宽的频率响应显着重叠，从而导致光谱偏斜，从而产生偏移的峰值。

解决方案：避免这种情况的一种方法是使用适当的窗口函数（如汉明窗口），使窗口的频率响应小得多，从而减少重叠。