Question

我正在尝试在Coq中定义一个名为interval的函数，给定两个自然数来计算这两者之间所有自然数的列表。但是我的定义不是原始 - 递归的。这是我的代码：

Require Coq.Program.Tactics.
Require Coq.Program.Wf.

Inductive bool : Type :=
  | true : bool
  | false : bool.

Fixpoint leq_nat (m:nat) (n:nat) : bool :=
match m with
  | 0 => true
  | S x => match n with
    | 0 => false
    | S y => leq_nat x y
  end
end. 

Notation "m <= n" := (leq_nat m n).
Notation "x :: l" := (cons x l) (at level 60, right associativity).

Program Fixpoint intervalo (m:nat) (n:nat) {measure ((S n) - m)}: list nat := 
match m <= n with
  | false => nil
  | true => m :: (intervalo (S m) n)
end.
Next Obligation.

正如您所看到的，我在间隔的长度上使用了有根据的递归。我将度量定义为该值，即S n - m。

我希望被要求证明forall m, n, true = m <= n -> S n - S m < S n - m

然而，我得到的证明义务看起来并不像这样，而且相当混乱。我被要求证明：

 m : nat
  n : nat
  intervalo : forall m0 n0 : nat,
              match m0 with
              | 0 => S n0
              | S l => n0 - l
              end < match m with
                    | 0 => S n
                    | S l => n - l
                    end -> list nat
  Heq_anonymous : true = (m <= n)
  ============================
   n - m < match m with
           | 0 => S n
           | S l => n - l
           end

那：

  ============================
   well_founded
     (Wf.MR lt
        (fun recarg : {_ : nat & nat} =>
         match projT1 recarg with
         | 0 => S (projT2 recarg)
         | S l => projT2 recarg - l
         end))

有人可以解释一下，为什么Coq要求我证明这一点，而不仅仅是forall m, n, true = m <= n -> S n - S m < S n - m。另外，我怎样才能完成这个证明？或者我怎样才能让它看起来更像是我期待Coq要求我证明的？

谢谢。

Answer 1

这里让您感到困惑的是，S n - m一词部分展开，您还有另外一个假设。如果输入：

clear intervalo.
change (match m with
        | 0 => S n
        | S l => n - l
        end) with (S n - m).
change (n - m) with (S n - S m).

然后你会发现你被要求证明的第一个目标确实是forall m, n, true = m <= n -> S n - S m < S n - m的直接后果。

第二个是简单地说明你的衡量标准是有充分根据的（再次出现S n - m的某种程度的展开）。我可能有一个不同版本的Coq（版本8.5beta2），因为在我的情况下，这个东西会自动释放。

在Coq中定义区间函数

1 个答案: