我找到了一个link，其中显示了一个示例，当线性方程组具有无限多个解时，Matlab mldivide运算符（\）给出“特殊”解。
例如：
A = [1 2 0; 0 4 3];
b = [8; 18];
c_mldivide = A \ b
c_pinv = pinv(A) * b
给出输出：
c_mldivide =
0
4
0.66666666666667
c_pinv =
0.918032786885245
3.54098360655738
1.27868852459016
解决方案是“特殊的”，因为解决方案c_mldivide中的非零条目数等于rank(A)（在本例中为2）。我使用numpy.linalg.lstsq在numpy中尝试了同样的事情，它给c_pinv提供了相同的结果。
有没有办法在Python中实现c_mldivide解决方案？
还有另一个非常相似的问题here，但我想对“特殊”一词的解释不够明确。
Another question询问mldivide运营商的内部运作情况，但接受的答案似乎并未解决此问题。
编辑1：numpy代码
In [149]: test_A = np.array([[1,2,0],[0,4,3]])
test_b = np.array([[8],[18]])
np.linalg.lstsq(test_A,test_b)
Out[149]:
(array([[ 0.918 ],
[ 3.541 ],
[ 1.2787]]), array([], dtype=float64), 2, array([ 5.2732, 1.4811]))
编辑2：使用scipy.optimize.nnls
In[189]:
from scipy.optimize import nnls
nnls(test_A,test_b)
Out[190]:
ValueError Traceback (most recent call last)
<ipython-input-165-19ed603bd86c> in <module>()
1 from scipy.optimize import nnls
2
----> 3 nnls(test_A,test_b)
C:\Users\abhishek\Anaconda\lib\site-packages\scipy\optimize\nnls.py in nnls(A, b)
43 raise ValueError("expected matrix")
44 if len(b.shape) != 1:
---> 45 raise ValueError("expected vector")
46
47 m, n = A.shape
ValueError: expected vector
答案 0 :(得分：4)
(2,1)
是
(2,)
#!/usr/bin/env python3
import numpy as np
from scipy.optimize import nnls
test_A = np.array([[1,2,0],[0,4,3]])
try:
test_b = np.array([[8],[18]]) # wrong
print(nnls(test_A,test_b))
except Exception as e:
print(str(e))
test_b = np.array([8,18]) # sic!
print(nnls(test_A,test_b))
但你想要
expected vector
(array([ 0. , 4. , 0.66666667]), 0.0)
输出：
JFileChooser答案 1 :(得分：4)
非负最小二乘（scipy.optimize.nnls）不是此问题的一般解决方案。如果所有可能的解决方案都包含负系数，那么它将失败的一个小问题是：
import numpy as np
from scipy.optimize import nnls
A = np.array([[1, 2, 0],
[0, 4, 3]])
b = np.array([-1, -2])
print(nnls(A, b))
# (array([ 0., 0., 0.]), 2.23606797749979)
如果 A·x = b 未定，
x1, res, rnk, s = np.linalg.lstsq(A, b)
将选择 x' 的解决方案，最小化 || x || L2 受 || A·x - b || L2 = 0 。这不是我们正在寻找的特定解决方案，但我们可以线性转换它以获得我们想要的。为此，我们首先计算 A 的right null space，其中包含 A的所有可能解决方案的空间·x = b 。我们可以使用rank-revealing QR decomposition：
来获取此信息from scipy.linalg import qr
def qr_null(A, tol=None):
Q, R, P = qr(A.T, mode='full', pivoting=True)
tol = np.finfo(R.dtype).eps if tol is None else tol
rnk = min(A.shape) - np.abs(np.diag(R))[::-1].searchsorted(tol)
return Q[:, rnk:].conj()
Z = qr_null(A)
Z 是一个向量（或者，如果 n - rnk（ A ）> 1 ，一组跨越 A 子空间的基础向量，使 A·Z = <强> 0 ：
print(A.dot(Z))
# [[ 0.00000000e+00]
# [ 8.88178420e-16]]
换句话说， Z 的列是与 A 中的所有行正交的向量即可。这意味着对于任何解决方案 x' 到 A·x = b ，然后 x' = x + Z ·c 也必须是任意比例因子 c 的解决方案。这意味着通过选择适当的 c 值，我们可以将解决方案中系数的任何 n - rnk（ A ）设置为零
例如，假设我们想要将最后一个系数的值设置为零：
c = -x1[-1] / Z[-1, 0]
x2 = x1 + Z * c
print(x2)
# [ -8.32667268e-17 -5.00000000e-01 0.00000000e+00]
print(A.dot(x2))
# [-1. -2.]
n - rnk（ A ）≤1的一般情况稍微复杂一点：
A = np.array([[1, 4, 9, 6, 9, 2, 7],
[6, 3, 8, 5, 2, 7, 6],
[7, 4, 5, 7, 6, 3, 2],
[5, 2, 7, 4, 7, 5, 4],
[9, 3, 8, 6, 7, 3, 1]])
x_exact = np.array([ 1, 2, -1, -2, 5, 0, 0])
b = A.dot(x_exact)
print(b)
# [33, 4, 26, 29, 30]
我们像以前一样获得 x' 和 Z ：
x1, res, rnk, s = np.linalg.lstsq(A, b)
Z = qr_null(A)
现在为了最大化解向量中零值系数的数量，我们希望找到一个向量 C ，这样
x' = x + Z·C = [x' 0 ，x' 1 ，...，x' rnk（A）-1 ，0，...，0] T
如果 x' 中的最后一个 n - rnk（ A ）系数为0，则为强加于那个
Z {rnk（A），...，n} ·C = - x {rnk（A），...中，n}
我们可以解决 C （确切地说，因为我们知道Z[rnk:]必须是满级的）：
C = np.linalg.solve(Z[rnk:], -x1[rnk:])
并计算 x' ：
x2 = x1 + Z.dot(C)
print(x2)
# [ 1.00000000e+00 2.00000000e+00 -1.00000000e+00 -2.00000000e+00
# 5.00000000e+00 5.55111512e-17 0.00000000e+00]
print(A.dot(x2))
# [ 33. 4. 26. 29. 30.]
将所有内容组合成一个函数：
import numpy as np
from scipy.linalg import qr
def solve_minnonzero(A, b):
x1, res, rnk, s = np.linalg.lstsq(A, b)
if rnk == A.shape[1]:
return x1 # nothing more to do if A is full-rank
Q, R, P = qr(A.T, mode='full', pivoting=True)
Z = Q[:, rnk:].conj()
C = np.linalg.solve(Z[rnk:], -x1[rnk:])
return x1 + Z.dot(C)