Question

我正在编写一个比较算法，它将n个数字和一个数字k作为输入。

它将n个数字分成k个组，以便组1中的所有数字都小于组2的所有数字，...，小于组k。

同一组的编号不一定要排序。

我正在使用选择（A []，左，右，k）来找到第k个元素，在我的例子中是n / k元素（将整个数组分成2个）和然后重复每个部分，直到初始数组被分成k个部分的n / k数字。

它的复杂度为Θ（n logk），因为它是logk级别（深度）的树，每个级别的cn计算成本最高。这是线性时间，因为logk被认为是常数。

我被要求证明所有以这种方式将Array [n]排序到k组的比较算法，在最坏的情况下花费Ω（nlogk）。

我在这里搜索过，谷歌和我的算法书（Jon Kleinberg Eva Tardos）我只找到对所有元素进行排序的比较算法的证据。在我的案例中不接受这种算法复杂性的证明，因为所有这些都在不符合我的问题的情况下，也不能被改变以解决我的问题。（还要考虑随机选择的常规快速排序导致Θ（nlogn）与Ω（nlogk）不是线性的）

您可以在此处找到常规算法证明： https://www.cs.cmu.edu/~avrim/451f11/lectures/lect0913.pdf 它也清楚地解释了为什么我的问题不属于O（nlogn）

的比较排序情况

Answer 1

排序需要进行lg(n!) = Omega(n log n)次比较，因为n!个输出排列不同。

对于这个问题，有

   n!
-------
      k
(n/k)!

输出排列的等价类，因为k元素的n/k个独立组中的顺序无关紧要。我们计算

      n!
lg ------- = lg (n!) - k lg((n/k)!)
         k
   (n/k)!

           = n lg n - n - k ((n/k) lg (n/k) - n/k) ± O(lg n + k lg (n/k))
             (write lg (...!) as a sum, bound with two integrals;
              see https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation)

           = n (lg n - lg (n/k)) ± O(lg n + k lg (n/k))

           = n lg k ± O(lg n + k lg (n/k))

           = Omega(n lg k).
             (O(lg n + k lg (n/k)) = O(n), since k <= n)

Answer 2

证明所有以这种方式将Array [n]排序为k组的比较算法，在最坏的情况下花费Ω（nlogk）。

我认为该陈述是错误的。如果使用具有较差枢轴选择的quickselect（例如始终使用第一个或最后一个元素），那么最坏的情况可能是O（n ^ 2）。

只有一些比较算法会出现O（n log（k））的最坏情况。使用枢轴中位数（n / 5版本）阻止quickselect解决了枢轴问题。还有其他算法也是O（n log（k））。

比较排序算法

2 个答案: