通过关于球体

Question

我试图解决一个问题，我需要在P0的某个距离到 P1周围投射一个关于已知半径的球体的弧，但是我的知识解决相当有限这种问题超出了标准的笛卡尔语境。

为了简化，如果我在飞机上这样做，我会简单地执行以下操作

float distance = 30;
Vector3 direction = (P1 - P0).Normalize();
Vector3 endPoint = P0 + (direction * distance);

我基本上试图看看是否有办法可以解决同样的问题，只能在球体上而不是在飞机上。这在概念上很困难，因为我需要考虑到P0和P1可以（并且将会）在球体上任意不同的高度。

我有一种感觉，我可能需要从笛卡尔转换为球形空间，但是在这里找到跳跃点已经证明非常困难。

思考？

Answer 1

设P0和P1为点，并考虑半径为r的球体。

首先，假设P0和P1位于球体上，并且我们想要行进距离d。首先请注意，我们需要P0≠P1，就像在线性代数情况下一样。 （否则，P0 = P1，因此通过P0和P1没有唯一的弧。）同样，我们需要P0≠-P1，否则通过P0和P1没有唯一的弧。

现在从P0到P1的弧位于所谓的球体的great circle。基本上，这是球体与某个平面通过O =（0,0,0）的交点。更确切地说，这是通过点O，P1和P2的唯一平面。

一些基本的线性代数将向您显示这是垂直于矢量P0×P1的平面，P0和P1的交叉积。注意，本产品中P0和P1的顺序为重要：通常，P0×P1≠P1×P0，如果我们取P1×P0，则运动方向将反转。 （即我们将从P1变为P0。）因此，P0到P1的“方向”由绕P0×P1的旋转给出。

现在考虑一般点P0，P1。正如melak47指出的那样，我们可以先将P0和P1投射到球体上，这样我们就可以在“方向”P0到P1上方进行旋转。为了将这些投影到球体上，我们还需要P0和P1都不为零，即不是原点。当P0和P1位于原点的同一条线上时，我们也遇到了一个问题，因为它们投射到球体上的相同点（或对映点），所以不要定义一个独特的弧：所以一般来说，我们需要检查P0和P1是linearly independent。现在注意P0位于半径为|| P0 ||的球体上，其中|| P0 ||是向量P0的范数。

请注意，上面介绍的半径r实际上还没有在任何地方使用过，所以我们可以设置r = || P0 ||。为了在弧P0到P1'上行进d的总距离，其中P1'被P1投影到半径为|| P0 ||的球上，角度变为d / || P0 ||，如上所述。好消息是P0×P1仍然是一个有效的旋转轴。

总而言之，您希望将P0绕P0×P1旋转d / || P0 ||弧度。在伪代码中，

float d;
Vector3 P0, P1;

float r = norm(P0);
float angle = d / r;
Vector3 axis = crossProduct(P0, P1);
Matrix3 rotationMatrix = RotationMatrix(angle, axis);
Vector3 endPoint = rotationMatrix * P0;

检查P0和P1是否线性独立与检查P0×P1非零相同，因此通常您可能需要在构造旋转之前检查axis != Vector3(0,0,0) 基质

如果您想要沿着弧P0'到P1的P0到P1方向行进，其中P0'被P0投影到半径为|| P1 ||的球上，我们首先需要替换r = norm(P0) r = norm(P1)（显然）。此外，P0'= || P1 || / || P0 || * P0，因此如果您愿意，我们还需要将rotationMatrix * P0替换为rotationMatrix * (r / norm(P0) * P0)，或rotationMatrix * r * normalize(P0)。

Answer 2

IMO，你的问题没有一个答案。这似乎是一个2D问题，发生在由两个给定点和球体中心形成的平面中。

但是你需要对轨迹给出更多限制。它可以是一条直线，一个阿基米德螺旋，一个对数螺旋，一个样条......或者你喜欢的任何东西。