一阶逻辑公式

Question

如果我想在一阶逻辑中表示'具有最小半径的集合中的元素具有值0'，那么以下是否正确？

  

1 ∈S∀e ₂ ∈S。半径e ₁ ≤Radiuse ₂ ⇒值e ₁ = 0？

变量是否正确量化？

由于

Answer 1

我想你想要一个存在的

\ exists e_1。 （\ forall e_2 radius（e_1）＆lt; = radius（e_2））and（radius（e_1）= 0）

我不确定公式中的优先级，但现在我认为我理解了这个问题，也许你想要（其中 M 是最小条件radius(e_1) < radius(e_2)）

\ forall e_1。 （（\ forall e_2。 M ） - ＆gt;值e_1 = 0）

我认为您之前的公式可能是错误的，原因如下。假设您有半径为{0,1,2}的元素，并且值等于半径。然后，您将得到1 <= 2的情况，但该值不为零。如果我正确地解释你原来的公式，

\ forall e_1。 \ forall e_2。 P（e_1，e_2）

然后这个反例提供了一个P为假的情况，因此整个公式都失败了（但这个例子应该是真的）。​​

Answer 2

只是用括号来澄清，你写的内容通常被认为是：

\forall e1 \in S. (\forall e2 \in S. (Radius e1 <= Radius e2 --> Value e1 = 0))

此声明断言每个元素的值为0.以下是如何：选择一个任意e1，现在选择e2 = e1，我们有：Radius e1 <= Radius e1 --> Value e1 = 0。由于先行词（-->之前的事物）是真的，我们有Value e1 = 0。由于我们没有对e1做出任何假设，因此我们有forall e \in S. Value e = 0。

问题是您的括号已关闭。

\forall e1 \in S. (\forall e2 \in S. Radius e1 <= Radius e2) --> Value e1 = 0

为了使前因成为现实，e1的半径必须小于或等于每个（而不是任何）其他半径，这似乎是什么你想要的。

Answer 3

如果没有半径最小的元素，您所写的内容也是如此。如果需要，你是对的;如果没有，你需要为这个效果添加一个子句：

(\forall e1 \in S. \forall e2 \in S. Radius e1 <= Radius e2 --> Value e1 = 0) \and (\exists e1 \in S. \forall e2 \in S. Radius e1 <= Radius e2)