Question

此方法也是一种确定性方法，如下所示：

bool isPrime(int a){
    if( a <= 0) return false;
    if( a == 1) return false;
    if( a == 2) return true;
    if( a == 3) return true;
    int sqr = sqrt(a)+1;
    if( a%2 == 0) return false;
    for(int i=3;i<=sqr;i+=2){
        if( a%i == 0 )
           return false;
    }
    return true;
}

Answer 1

如果您的输入小于2 ^ 64（对于使用int的示例来说已经足够了），有一些好的方法：

1）BPSW。快速，确定，正确的所有64位输入，没有已知的反例（尽管我们认为它们存在）

2）Deterministic Miller-Rabin。维基百科页面提供了一些正确但效率低下的基本集 - Best Known SPRP Bases处的基本集最为人所知的是64位输入。任何64位输入最多7次测试。 New (Sep 2015) results通过13次测试给出了81位输入的确定性结果。

3）散列确定性M-R。这只是＃2的优化。 32位输入只需要一次M-R测试，64位输入只需要2次或3次测试。请参阅Forisek and Jancina 2015 paper和my different hashed implementation。

你所展示的方法

Trial division非常适合微小输入，比如不到一百万左右。在过去的一段时间内它仍然是计算上的好，但它是输入的位长度的指数时间。它速度非常快，并且实际上不能使用超过26个左右的数字（仅仅是因为时间的巨大增长）。在我的测试中，25位数字比BPSW慢400M（这个尺寸的PRP测试），比ECPP慢13M，比APR-CL慢3M倍。

Graph of run times for primality tests on large inputs

如果您的输入大于64位，则某些选项包括：

BLS75方法（来自the seminal 1975 paper），包括N-1，N + 1，以及基于部分因子分解的混合方法。这些仍然使用，并且对于高达~40位的数字而言惊人地快。 Generalized Pocklington是其中一个定理的特例。由于这依赖于n-1和/或n + 1的部分分解，因此它在一般情况下不能很好地扩展，并且在实际使用中会消失大约80-100个数字。
APR-CL。相当快（例如，对于200位数字，半秒）。 Pari/GP和mpz_aprcl中的开源。
ECPP。最快的大输入方法，不是特殊形式。 Primo（免费使用和黄金标准），ecpp-dj（开源）。这使用随机化，因此它在某种意义上不具有确定性，但它是100％正确的，这是许多人在这种情况下的意思。它还可以提供快速第三方验证的证书，使其特别具有吸引力。
AKS。可怕慢。理论上的突破和令人着迷的简单数学，但实际上没用。它比20位左右的试验分区更快，最终将通过BLS75方法，但它与我们通常使用的方法无关：APR-CL或ECPP。存在各种实现，最快的我知道在ecpp-dj和Perl/ntheory [警告：我是作者]。多项式时间，但指数高于APR-CL，输入数量在千万亿左右（大小可笑）。

Answer 2

是的，我认为是...... Deterministic Algorithm。另一个更有效的确定性素数测试算法是AKS Primality Testing。此外，如果您想使用一些概率（非确定性）素性测试，可以参考Miller-Rabin Test。

希望这有帮助！

是否有任何确定性方法来检查数字是否为素数？

2 个答案: