Question

这是我用来计算(n^p)%mod的代码。不幸的是，当我从mod方法调用它时，mod = 10000000000ULL（在我的情况下为main()）的值很大。任何的想法;为什么呢？

ull powMod(ull n, ull p, ull mod) {
    ull ans = 1;
    n = n%mod;
    while(p) {
        if(p%2 == 1) {
            ans = (ans*n)%mod;
        }
        n = (n*n)%mod;
        p /= 2;
    }
    return ans;
}

此处，ull是unsigned long long的typedef。

Answer 1

是的，你可以用C ++来做。正如其他人指出你不能直接那样做。使用一点数论可以将问题分解为两个可管理的子问题。

首先考虑10^10 = 2^10 * 5^10。这两个因素都是互质的，因此您可以使用{modoro 10^10和modulo 2^10来为Chinese remainder theorem找到幂模5^10。

请注意，在以下代码中，使用Extended Euclidean Algorithm找到了 magic 值u2和u5。您不需要自己编写此算法，因为这些值是常量。我使用maxima及其gcdex函数来计算它们。

以下是修改后的版本：

typedef unsigned long long ull; ull const M = 10000000000ull; ull pow_mod10_10(ull n, ull p) { ull const m2 = 1024; // 2^10 ull const m5 = 9765625; // 5^10 ull const M2 = 9765625; // 5^10 = M / m2 ull const M5 = 1024; // 2^10 = M / m5 ull const u2 = 841; // u2*M2 = 1 mod m2 ull const u5 = 1745224; // u5*M5 = 1 mod m5 ull b2 = 1; ull b5 = 1; ull n2 = n % m2; ull n5 = n % m5; while(p) { if(p%2 == 1) { b2 = (b2*n2)%m2; b5 = (b5*n5)%m5; } n2 = (n2*n2)%m2; n5 = (n5*n5)%m5; p /= 2; } ull np = (((b2*u2)%M)*M2)%M; np += (((b5*u5)%M)*M5)%M; np %= M; return np; }

Answer 2

似乎你无法避免它。

如果mod为10000000000ULL，则在您的计划的(a*b)%c中，a和b都小于mod，因此我们将其视为{{1} }，9999999999ULL将为a*b，但99999999980000000001只能表达unsigned long long，因此您的方法会溢出。

Answer 3

这里可能出现的问题之一似乎是当你(a*b)%c时，a*b部分本身可能会溢出，从而导致错误答案。解决这个问题的一种方法是使用

标识

(a*b)%c

相当于

(a%c * b%c)%c

这也可以防止中间乘法中的溢出。

Answer 4

您的代码行

 n = (n*n)%mod;

重复执行。只要n小于mod，这可能会导致在某个时间点评估（mod-1）*（mod-1）。

输入n可能不是那么大，但是上面提到的代码行在循环中增加了n。

对于C ++中的大型mod，模幂运算失败

4 个答案: