fipeva函数的二阶导数来自scipy.special

Question

我想计算Fadeeva函数special.wofz的二阶导数。 Fadeeva函数与错误函数密切相关。因此，如果有人更熟悉erf，那么答案是值得赞赏的。 以下是查找wofz的二阶导数的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import wofz


def Z(x):
    return wofz(x)

## first derivative of wofz (analytically)
def Zp(x):
    return -2/1j/np.pi**0.5 - 2*x*Z(x)

##second derivative (analytically)
def Zpp(x):
    return (Z(x)+x*Zp(x))*x

x = np.float64(np.linspace(1e4,14e4,1000))

plt.plot(x, Zpp(x).imag,"-")

Zpp_num=np.diff(Zp(x))/np.diff(x)  ##calc numerically the second derivative
plt.plot(x[:-1],Zpp_num.imag)

代码生成下一个数字：

显然，分析计算存在严重问题。我一直在使用的公式是正确的。它必须是一些数字问题。

问：有人能告诉我这种行为的原因是什么吗？是否由于wofz功能的精确性？有谁知道计算wofz的算法？可以产生可靠结果的论点有多大？我找不到任何关于它的信息。另外，我知道我可以使用wofz的渐近近似来找到二阶导数，但如果可能的话我想使用scipy。

Answer 1

正如您所怀疑的那样，在计算衍生产品时问题是数字来源。正如@clwainwright已经在评论中指出的正确的二阶导数是

Zpp = -2*(Z(x) + x*Zp(x))

这两个术语的虚部表现如下：

显示您有两个几乎相等的小数量，并计算它们的差异。

进一步了解详情，

Zpp = -2*(1-2*x**2)*Z(x) - 4j/sqrt(pi)*x

其虚部是

Im(Zpp) = - 4*x/sqrt(pi) - 2*(1-2*x**2)*Im(Z)

和Im(Z)与道森函数D（scipy.special.dawsn）成比例，

Im(Z) = 2/sqrt(pi) * D

问题在于你有

Im(Zpp(x)) = -4/sqrt(pi)*( x - 2*x**2*dawsn(x) ) - 4/sqrt(pi)*dawsn(x)

为什么这是一个问题是因为the asymptotic expansion of the Dawson function以

开头

D(x) ~ 1/(2x) + ...

其首要条款由Im(Zpp(x))的第一项占用，而小修正则赋予函数其值（实际上，前导项是1/(2x)的最后一项Im(Zpp(x)) 1}}。

因此问题是Zpp的分析表达所固有的。您可以尝试重塑分析表达式以摆脱这个数值问题（特别是精度损失），但这并不容易。您也可以尝试使用sympy。我现在已经尝试了一段时间，没有成功。它可能仍然有可能。

Answer 2

跟进@Andras Deak的回答，您可以分析地找出高x扩展，然后使用一些简单的平滑在它和scipy函数之间进行插值。实际上有两个术语在高x扩展中取消，所以你必须要小心。

这是我得到的答案：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import wofz


def Z(x):
    return wofz(x)

## first derivative of wofz (analytically)
def Zp(x):
    return -2/1j/np.pi**0.5 - 2*x*Z(x)

def dawsn_expansion(x):
    # Accurate to order x^-9, or, relative to the first term x^-8
    # So when x > 100, this will be as accurate as you can get with
    # double floating point precision.
    y = 0.5 * x**-2
    return 1/(2*x) * (1 + y * (1 + 3*y * (1 + 5*y * (1 + 7*y))))

def dawsn_expansion_drop_first(x):
    y = 0.5 * x**-2
    return 1/(2*x) * (0 + y * (1 + 3*y * (1 + 5*y * (1 + 7*y))))

def dawsn_expansion_drop_first_two(x):
    y = 0.5 * x**-2
    return 1/(2*x) * (0 + y * (0 + 3*y * (1 + 5*y * (1 + 7*y))))

def blend(x, a, b):
    # Smoothly blend x from 0 at a to 1 at b
    y = (x - a) / (b - a)
    y *= (y > 0)
    y = y * (y <= 1) + 1 * (y > 1)
    return y*y * (3 - 2*y)

def g(x):
    """Calculate `x + (1-2x^2) D(x)`, where D(x) is the dawson function"""
    # For x < 50, use dawsn from scipy
    # For x > 100, use dawsn expansion
    b = blend(x, 50, 100)
    y1 = x + (1 - 2*x**2) * special.dawsn(x)
    y2 = dawsn_expansion_drop_first(x) - dawsn_expansion_drop_first_two(x) * 2*x**2
    return b*y2 + (1-b)*y1

def Zpp(x):
    # only return the imaginary component
    return -4j/np.pi**0.5 * g(x)

x = np.logspace(0, 5, 2000)
dx = 1e-3
plt.plot(x, (Zp(x+dx) - Zp(x-dx)).imag/(2*dx))
plt.plot(x, Zpp(x).imag)
ax = plt.gca()
ax.set_xscale('log')
ax.set_yscale('log')

产生以下图：

蓝线是数值导数，绿线是使用扩展的导数。后者实际上具有更好的行为x。