Matlab - 生成随机非奇异三角矩阵

Question

如何生成随机三角矩阵？ （上下）

通常我会使用rand(n)但是如果我尝试tril(rand(n))它会是单数的，我不希望这样。

Answer 1

你的回答是正确的：

 A=tril(rand(n))

您可以使用

检查此矩阵不是单数

 rcond(A)>eps

或

 min(svd(A))>eps

并验证最小奇异值是否大于eps，或任何其他与您的需求相关的数值公差。 （代码将返回1或0）。对于n>50，您将开始接近单个矩阵。

这里有一个关于矩阵如何以它的大小接近奇点的小分析......

Answer 2

好的，这是关于三角矩阵奇点的想法。三角矩阵的行列式决定了奇点，因为当构造逆矩阵时它会进入分母。三角矩阵的性质使得行列式等于对角元素的乘积。

因此，对于矩阵NxN，我们在对角线上具有i.i.d的乘积。 U（0,1）数字。显然，由于所有数字都是<1且越多，因此N增加，行列式将会减少，产品（也就是决定因素）的价值就越小。

有趣的是检查det = X ₁ X ₂ ... * X _N 平均值将下降为2 ^-N ，因为产品中的每个项都是U（0,1），平均值为1/2，它们都是iid替代检查将是从产品PDF计算平均值（参见https://math.stackexchange.com/questions/659254/product-distribution-of-two-uniform-distribution-what-about-3-or-more），实际上，它将给出完全相同的结果，2 ^-N 。也可以计算行列式的方差，如第二个动量减去均方，它等于（3 ^-N -4 ^-N ）。

请注意，这些是平均值，您可以平均预期，例如，如果您采样N = 100的10 ⁶ 三角矩阵，计算它们的行列式并对其求平均值，您应该找到它非常接近2 ^-100 。

问题出在哪里。平均而言，三角形随机矩阵随着N的增长呈指数级变为奇点。 2 ^-10 约等于1 / 1,000。 2 ^-20 约等于1 / 1,000,000。 对于N = 100，它应该平均大约10 ^-30 左右，这使得整个运动没有实际意义。

不幸的是，除了这个简单的分析，我无法提供任何东西。

Answer 3

如果您需要条件良好的随机三角矩阵，则可以将 A ² 的三角形部分与 A = rand（ n ）。因此，任意大小 n 的triu（ A * A ）条件都很好，但当然具有复杂度 O（n ³ ）。