求解未排序数组中元素的算法

Question

我有两个数组：

• 数组 A = [ a ₁ ， a ₂ ，...， a _n ]未分类。
• 数组 B = [ b ₁ ， b ₂ ，...， b _k ]已排序，其元素少于 A （即： k < / em>« n ）。

对于每个 b _i ，我想计算最大 b _{<的总和数组A中的em> i} 元素。例如，如果

• A = [10,5,3,9,8,15,4,7,11,1,20,6]
• B = [2,3,4,6,7]

然后我想要 A 中的2,3,4,6和7个最大元素的总和：

• [20 + 15,20 + 15 + 11,20 + 15 + 11 + 10,20 + 15 + 11 + 10 + 9 + 8,20 + 15 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7]
• 即：[35,46,56,73,80]

我知道如何计算O（ n ）时间内 b _i 最大元素的总和，所以我可以轻松地为O（ nk ）时间内运行的整个事物编写算法;但我需要一个在O（ n log k ）时间内运行的算法。

那么，我怎样才能在O（ n log k ）时间内做到这一点？

Answer 1

基本上，你想在第一个数组中找到k个最大的元素。

这是算法的草图。你走过第一个阵列。您将元素插入数据结构 - 让我们说一个b树。插入到数据结构中的是log（k），因为数据结构结构限于k个元素。因此，对于k + 1记录，插入有点不同，因为较大的值将覆盖较小的值。 （有比b树更好的数据结构，比如堆，但你可能对树更熟悉。）

无论如何，插入此数据结构的是log（k）。您可以在O（n * log（k））操作中创建它。然后，您只需要读取数据结构，即k。因为k < n，它对复杂性没有贡献。所以，这就是你构建这样一个算法的方法。

Answer 2

I'm not good in writing a complete algorithm. I'll try to illustrate my idea using your example:

Start with middle element of B (4) we found 10+15+11+20=56 as well as splitting A into

[10,15,11,20]  [5,3,9,8,4,7,1,6]

and B split into

[2,3]  [6,7]

Recursively we have two reduced summing up problem of:

Q1: A' = [10,15,11,20]      B' = [2,3]
Q2: A' = [5,3,9,8,4,7,1,6]  B' = [6-4, 7-4]

Take the middle element of B' of Q1 and Q2, each processing A' of Q1 and Q2 respectively. Total number of elements visited among all A' of the sub-problems is still O(n), and we continue to break down the problem into smaller sub-problem, until log(k) times.

There may be some operation to sum up the values in O(k). Since k << n (as defined in the question), this O(k) maybe ignored in compare with the O(n log k) time complexity.