Question

我想将程序结构化为抽象模块，并编写使用抽象类型的函数。但我无法使用match来破坏抽象类型，所以我必须创建某种反转引理，但我也不能match。我试图将我的问题归结为：

首先创建一个可由Module Type类型使用的decidable。

Require Import Decidable.

Module Type decType.
  Parameter T : Type.
  Axiom decT : forall (a b:T), decidable (a=b).
End decType.

以下是一个示例：nat是可判定的。但目的是编写plus等仅解决抽象类型。（我已删除参数zero，Succ及其要求，以使此示例最小化。

Require Peano_dec.

Module nat_dec <: decType.
  Definition T := nat.
  Definition decT := Peano_dec.dec_eq_nat.
End nat_dec.

现在回答我的问题：我想在decType模块上编写参数化模块，其函数如果true则返回a=b，否则返回false。由于a和b属于decType，因此这应该是可判定的（因此可计算，或？），但如何编写beq？

Module decBool (M: decType).
  Import M.
  Definition beq (a b:T) : bool :=
    ???
  .

End decBool.

到目前为止，我的想法是我必须在decType模块类型中添加一个布尔函数，如下所示：

Module Type decType.
  Parameter T : Type.
  Axiom decT : forall (a b:T), decidable (a=b).
  Parameter decB : forall (a b:T), {a=b}+{a<>b}.
End decType.

然后在上面的decB模块中定义nat_dec。

这是人们必须做的事情（即定义函数decB）？是不是可以使用抽象的事实，即类型是可判定的，而不通过返回bool的函数？

Answer 1

你不能写这个函数，因为Coq中的命题和计算对象是分开的（例如参见this answer）。

请注意，将decB参数添加到模块会导致decidable公理不必要，因为您可以使用{P} + {Q}派生P \/ Q。

我想补充一些相关的说明。首先，我会避免使用Coq模块系统来执行除命名空间和编写不透明定义之外的任何操作。如果要编写参数化定义，最好使用相关记录，例如

Record eqType := {
  sort :> Type; 
  eqb : sort -> sort -> bool;
  eqbP : forall x y, eqb x y = true <-> x = y
}.

这基本上是Ssreflect采取的方法。您可以使用规范结构（如Ssreflect确实）或类型类来更轻松地使用这些相关记录。

其次，您可以编写显式的消除函数，以避免诉诸match。例如，nat_rect函数允许您使用高阶参数在nat上编写递归函数：

nat_rect : forall (T : nat -> Type),
             (* value for 0 *)
             T 0 ->
             (* body for recursive call *)
             (forall n, T n -> T (S n)) ->
             forall n, T n.

为每种感应数据类型自动定义这些功能。它们涉及依赖类型，但您也可以使用它们进行非依赖类型的递归。虽然这样效率有点低，但您也可以通过传递它们忽略递归调用值的函数（在上面的例子中，第二个函数参数的T n参数）来使用它们进行模式匹配。 p>

Coq：我如何用可判定的道具创建一个bool？

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