Question

我正在形成一个基本上超过布尔表达式的语法。在coq中，你可以在Prop中获得类似布尔的东西，或者在bool中更明确地获得。

例如，我可以写：

true && true

或

True /\ True

问题是在证据中（这是我真正关心的）我可以在域bool中进行案例分析，但在Prop中这是不可能的（因为所有成员都不是可枚举的，我想）。即使对于非常简单的证明，放弃这种策略和类似的重写策略似乎也是一个巨大的缺点。

一般情况下，选择Prop over bool进行正式化的情况是什么？我意识到这是一个广泛的问题，但我觉得Coq手册中没有充分解决这个问题。我对现实世界的经历很感兴趣。

Answer 1

对此有很多不同的意见。我个人认为，最好不要做出这样的选择：有两个版本的属性是合理的，一个在Prop，另一个在bool。

你为什么要这样？正如您所指出的，布尔支持证据和函数中的案例分析，而一般命题则不然。但是，Prop在某些情况下使用起来会更方便。假设您的类型T具有有限的多个值。我们可以写一个程序

all : (T -> bool) -> bool

决定布尔属性P : T -> bool是否包含T的所有元素。想象一下，对于某些属性all P = true，我们知道P。我们可能希望使用这一事实来得出P x = true某些值x。要做到这一点，我们需要证明关于all的一个引理：

allP : forall P : T -> bool,
         all P = true <-> (forall x : T, P x = true)

这个引理连接了两个相同属性的不同公式：布尔值和命题值。在推理证据中all时，我们可以调用allP在两者之间自由转换。我们也可以有不同的转换引理：

allPn : forall P,
          all P = false <-> (exists x, P x = false)

事实上，我们可以自由选择任何 Coq命题与布尔计算相关（当然，因为我们可以证明这两者在逻辑上是等价的）。例如，如果我们想要一个与布尔属性相关联的自定义归纳原理，我们可以寻找一个等价的公式作为一个归纳定义的命题。

Mathematical Components库是遵循这种风格的开发的一个很好的例子。实际上，因为它在那里非常普遍，所以库提供了一种特殊的 view 机制，用于编写如上所述的转换引用并应用它们。在普通的Coq中，我们也可以使用rewrite策略更方便地应用逻辑等价。

当然，在许多情况下，拥有相同属性的两种配方是没有意义的。有时，您被迫使用Prop，因为您关心的财产是不可判定的。有时，您可能会觉得通过在Prop中编写属性而无法获得任何内容，并且可能仅将其保留为布尔值。

除了上面链接的Software Foundations章节之外，this answer还更深入地讨论了bool和Prop之间的区别。