Question

我正在进行CTL练习，我正在尝试检查以下公式是否相同。但我不确定我做得对不对。

EF (p or q) = EF(p) or EF(q) ? 
AF(p or q) = AF(p) or AF(q) ? 
A(p U ( A(q U r) )) = A(A(p U q) U r) ?

公式：等价

第二个公式：等价

第三个公式：等效

是不是？如果错了你能给我一个Kripke模型中可能的反例吗？

提前致谢。

Answer 1

我会尝试使用此处定义的CTL的语义：Wikipedia about CTL。

（I）证明EF (p or q) = EF(p) or EF(q)：

(M, s1) |= EF (p or q)*

<=> (Def. of EF)

There is s1->s2->... such that there is an i >= 1 such that (M, s_i) |= (p or q)

<=> (Def. of or)

There is s1->s2->... such that is an i >= 1 such that ((M, s_i) |= p OR ((M, s_i) |= q)

<=> (Equivalence rules for predicate logic)


(There is s1->s2->... such that is an i >= 1 such that ((M, s_i) |= p)
 OR 
(There is s1->s2->... such that is an i >= 1 such that ((M, s_i) |= q)

<=> (Def. of EF)

EF(p) or EF(q)

所以等价是有效的。

（II）

AF(p or q) = AF(p) or AF(q)

假设具有三个状态S0，S1，S2的Kripke结构，让S0为初始状态。在S0中，p nor q都不成立，在S1中只有p成立，在S2中只有q成立。

过渡是：

S0 -> S1
S0 -> S2
S1 -> S1
S2 -> S2

S1形成SCC，S2形成SCC。 AF（p或q）适用于此Kripke结构，因为（p或q）适用于除S0之外的所有状态，并且每个序列都会达到S1或S2。 AF（p）或AF（q）怎么样？ AF（p）不成立，因为存在序列S0 S2 S2 S2 ...其中没有p出现。 AF（q）不成立，因为存在序列S0 S1 S1 S1 ...其中没有出现q。

对于（III）：有趣的证明，可能使用上面使用的技术：）

检查等效的CTL公式

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