自动机和正式语言

Question

显示常规语言L的单词的反向也是常规的

我对如何处理这个问题很困惑，我已经被困了好几个小时：对于一个单词x，我们使用x ^ r来表示它的反向。对于语言L，我们使用L ^ r来表示{x ^ r，其中x在L的集合中}。证明如果L是规则的那么L ^ r

Answer 1

如果L是常规的，那么存在一些生成它的常规语法。它可以始终表示为左常规语法或右常规语法。让我们假设它是左常规语法G_l（右边常规语法的证明是类似的）。

这种语法有两种类型的作品;终止类型：

A -> a, where A is non-terminal and a is either a terminal or empty string (epsilon)

或链接类型：

B -> Ca, where B, C are non-terminals and a is a terminal

当我们将反向应用于常规语言时，我们基本上也将它应用于制作的尾部（因为头部只是单个非终端）。它将在稍后证明。所以我们得到了一个新的语法G_r，其中包括：

A -> a, where A is non-terminal and a is either a terminal or empty string (epsilon)
B -> aC, where B, C are non-terminals and a is a terminal

但是，嘿，这是一个正确的常规语法！所以它接受的语言也是常规的。

有一件事要做 - 表明倒车尾巴实际上做了它应该做的事情。我们将非常简单地证明：

1. 如果L包含\ epsilon，则有生产＆＃39; S - ＆gt; \小量＆＃39;在G_l。由于我们不接触这样的作品，因此它也出现在G_r中。

2. 如果L包含a，一个由单个终端组成的单词，那么它与上述类似

3. 如果L包含aZ，则其中a是终端，而Z是从{{1}中的单词中删除第一个终端构造的语言中的单词然后L包含（因为链接产品的更改）L^r。 Z也是一种常规语言，因为它可以通过删除第一个＆＃34;级别来构建。来自(Z^r)a的左制作，留给我们一个正常的语法。

我希望它有所帮助。通过扭转相关有限自动机的边缘并稍微改变接受和进入状态，这也可以说是一种更容易实现的方法。