Question

我使用的公式中我们必须找到 x 在给定 b 的值时可以采用的最大值。 x 和 b 都只能采用非负整数值。等式是：

x^4+x^3+x^2+x+1≤b

我已经编写了以下代码（显然是愚蠢的）来解决它：

#include<iostream>
#include<climits>

using namespace std;

int main()
{
    unsigned long long b,x=0;
    cout<<"hey bro, value of b:";
    cin>>b;
    while(x++<b)
        if(x*x*x*x+x*x*x+x*x+x+1>b)
        break;
    if(b==0)
    cout<<"Sorry,no value of x satisfies the inequality"<<endl;
    else
    cout<<"max value of x:"<<x-1<<endl;
    return 0;
}

上述代码在b=LONG_MAX之前可以正常工作，但在b=LONG_LONG_MAX或b=ULLONG_MAX之后，它会一直开始。如何才能解决此问题，使其最适合 b=ULLONG_MAX？

Answer 1

如果对于x = m，不等式成立，那么它也适用于所有整数< m。如果它不适用于m，则它不会保留任何整数> m。这表明了什么算法？

如果您想破坏自己，请点击here查看算法。

Answer 2

这不仅仅是一个优化问题。（有关优化，请参阅IVlad的答案）。这也是一个正确性问题。对于非常大的值，表达式会导致整数溢出：简单地说，它从ULLONG_MAX回绕到零，并且你的循环继续没有检测到这一点。您需要在代码中构建溢出检测。

Answer 3

旧答案（这里的实际问题不是迭代次数多，而是整数溢出;请从“更新”部分阅读;我将此部分保留在这里以了解错误假设的历史）：

这些值非常大。当您的程序检查从0到LONG_LONG_MAX的每个值时，它会对9*10^12个操作进行调整，不是吗？对于ULLONG_MAX，我们有18*10^12次操作。尝试修改此程序以查看实际处理速度：

while (x++ < b)
{
    if (x % 1000000 == 0)
        cout << " current x: " << x << endl;
    if (x*x*x*x+x*x*x+x*x+x+1>b)
        break;
}

因此，您需要优化此算法（即减少迭代次数）：由于您的函数为monotonic，因此您可以使用Binary search algorithm（请参阅Bisection method以获得说明）。< / p>

整数溢出也可能存在问题：对于大值x*x*x*x，函数x计算错误。想象一下你的类型是unsigned char（1个字节）。例如，当您的程序计算250*250*250*250时，您期望3906250000，但实际上您有3906250000 % 256（即16）。因此，如果x太大，则有可能您的函数将返回值< b（这将是奇怪的;理论上它可以制动您的优化算法）。好消息是，如果每次检查都正确，你就不会看到这个问题。但是对于更复杂的函数，您还需要支持长数学（例如，使用GMP或其他实现）。

更新：如何避免溢出风险？

我们需要找到x的最大允许值（让我们称之为xmax）。如果x，则允许值x*x*x*x+x*x*x+x*x+x+1 < ULLONG_MAX。因此，对初始问题（约x*x*x*x+x*x*x+x*x+x+1 < b）的答案不大于xmax。让我们找到xmax（只需在任何系统中求解等式x*x*x*x+x*x*x+x*x+x+1=ULLONG_MAX，例如WolframAlpha：anwer约为65535.75...，所以xmax==65535。所以，如果我们检查{ {1}}从x到0我们不会出现溢出问题。它也是二进制搜索算法的初始值。

这也意味着，我们不需要在这里使用二进制搜索算法，因为它只需要检查65535个值。如果xmax没有回答，我们必须停止并返回回答x==65535。

如果我们需要跨平台解决方案而不需要65536的硬编码，我们可以使用任何bigint实现（GMP或任何更简单的解决方案）或实现更准确的乘法和其他操作。示例：如果我们需要多层xmax和x，我们可以计算y并将此值与z=ULLONG_MAX/x进行比较。如果y，我们无法将z<y和x相乘，而不会溢出。

Answer 4

一个非常简单的观察在O（1）时间内解决了你的问题。

查找k = sqrt(sqrt(b))

如果k满足您的不平等，k就是您的答案。如果没有，k-1就是您的答案。

Answer 5

您可以尝试找到一个上限并从那里开始工作。

// Find the position of the most significant bit.
int topBitPosition = 0;
while(b >> topBitPosition)
    topBitPosition++;
// Find a rough estimate of b ^ 1/4
unsigned long long x = b >> (topBitPosition - topBitPosition/4);
// Work down from there
while(x*x*x*x+x*x*x+x*x+x+1 > b)
    x--;
cout<<"max value of x:"<<x-1<<endl;

Answer 6

不要让x超过65535。如果65535满足不等式，65536则不会。

Answer 7

快速回答：

首先，你从x = 0开始然后增加它，这不是最佳解决方案，因为你正在寻找最大值而不是第一个。因此，我会从一个可以

的上限出发

X = ABS（（B）^（1/4））

比从该值减少，并且一旦找到元素＆lt; = b，就完成了。

你甚至可以这样思考：

for y=b to 1
   solve(x^4+x^3+x^2+x+1=y)
   if has an integer solution then return solution

请参阅this

这是一个超级快速的答案我希望我没有写太多愚蠢的事情，对不起我还不知道如何在这里写数学。

Answer 8

这是一个稍微优化的版本：

#include<iostream>
int main()
{
    std::cout << "Sorry, no value of x satisfies the inequality" << std::endl;
    return 0;
}

为什么呢？因为x接近正无穷大，所以x^4+x^3+x^2+x+1是无界的。你的不平等没有b。计算机科学是数学的一个子集。

对于大输入，程序花费的时间太长

8 个答案: