向量插值的矩阵向量乘法 - Python

Question

我使用有限元方法逼近拉普拉斯方程，因此将其转换为矩阵系统AU = F，其中A是刚度向量并求解为U（对我的问题不是很重要）

我现在有了近似U，当我找到AU时我应该得到向量F（或至少类似），其中F是：

AU为x = 0到x = 1给出了以下图表（例如，对于20个节点）：

然后我需要将U插值为更长的向量并找到AU（对于更大的A也是如此，但不是插值）。我通过以下方式插入U：

U_inter = interp1d(x,U)
U_rich = U_inter(longer_x)

似乎工作正常，直到我将它与较长的A矩阵相乘：

似乎每个尖峰都在x的节点（即原始U的节点）。有人知道是什么原因引起的吗？以下是我找到A，U和F的代码。

import numpy as np
import math
import scipy
from scipy.sparse import diags
import scipy.sparse.linalg
from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt

def Poisson_Stiffness(x0):
    """Finds the Poisson equation stiffness matrix with any non uniform mesh x0"""

    x0 = np.array(x0)
    N = len(x0) - 1 # The amount of elements; x0, x1, ..., xN

    h = x0[1:] - x0[:-1]

    a = np.zeros(N+1)
    a[0] = 1 #BOUNDARY CONDITIONS
    a[1:-1] = 1/h[1:] + 1/h[:-1]
    a[-1] = 1/h[-1]
    a[N] = 1 #BOUNDARY CONDITIONS

    b = -1/h
    b[0] = 0 #BOUNDARY CONDITIONS

    c = -1/h
    c[N-1] = 0 #BOUNDARY CONDITIONS: DIRICHLET

    data = [a.tolist(), b.tolist(), c.tolist()]
    Positions = [0, 1, -1]
    Stiffness_Matrix = diags(data, Positions, (N+1,N+1))

    return Stiffness_Matrix

def NodalQuadrature(x0):
    """Finds the Nodal Quadrature Approximation of sin(pi x)"""

    x0 = np.array(x0)
    h = x0[1:] - x0[:-1]
    N = len(x0) - 1

    approx = np.zeros(len(x0))
    approx[0] = 0 #BOUNDARY CONDITIONS

    for i in range(1,N):
        approx[i] = math.sin(math.pi*x0[i])
        approx[i] = (approx[i]*h[i-1] + approx[i]*h[i])/2

    approx[N] = 0 #BOUNDARY CONDITIONS

    return approx

def Solver(x0):

    Stiff_Matrix = Poisson_Stiffness(x0)

    NodalApproximation = NodalQuadrature(x0)
    NodalApproximation[0] = 0

    U = scipy.sparse.linalg.spsolve(Stiff_Matrix, NodalApproximation)

    return U

x = np.linspace(0,1,10)
rich_x = np.linspace(0,1,50)
U = Solver(x)
A_rich = Poisson_Stiffness(rich_x)
U_inter = interp1d(x,U)
U_rich = U_inter(rich_x)
AUrich = A_rich.dot(U_rich)
plt.plot(rich_x,AUrich)
plt.show()

Answer 1

评论1：

我添加了Stiffness_Matrix = Stiffness_Matrix.tocsr()语句以避免效率警告。有限元计算非常复杂，在我能够识别出正在发生的事情之前，我必须打印出一些中间值。

评论2：

plt.plot(rich_x,A_rich.dot(Solver(rich_x)))很好看。您获得的噪音是内插U_rich与真实解决方案之间差异的结果：U_rich-Solver(rich_x)。

评论3：

我认为您的代码存在问题。问题在于您可以通过这种方式测试插值。我对FE理论很生疏，但我认为你需要使用形状函数进行插值，而不是简单的线性函数。

评论4：

直觉上，您要问A_rich.dot(U_rich)，F会产生什么样的强制U_rich Solver(rich_x)。与U_rich相比，F有平点，其值小于真实解的区域。 NodalQuadrature(x)会产生什么？一个尖尖的，x点F，但两者之间的值接近零。这就是你的情节所显示的内容。

高阶插值将消除平点，并产生更平滑的后计算plt.plot(x,NodalQuadrature(x)) plt.plot(rich_x, NodalQuadrature(rich_x)) 。但你真的需要重新审视有限元理论。

您可能会发现查看

是有益的

plt.plot(rich_x,AUrich,'-*')  # the spikes
plt.plot(x,NodalQuadrature(x),'o')  # original forcing
plt.plot(rich_x, NodalQuadrature(rich_x),'+') # new forcing

第二个图更顺畅，但只有1/5高。

最好看看：

rich_x

在模型中，强制不是连续的，它是每个节点的值。随着更多节点（public function getTimeAttribute($value) { $time = Carbon::createFromFormat('H:i:s', $value); return $time->format('H:i'); } ），每个节点的幅度更小。