如何在Racket中应用lambda演算规则？

Question

我正在尝试测试一些使用Racket编写的lambda演算函数，但测试用例没有太多运气。例如给定一个定义

; successor function
(define my_succ (λ (one)
                 (λ (two)
                   (λ (three)
                     (two ((one two) three))))))

我正在尝试将其应用于1 2 3，期望2的继任者为3

(((my_succ 1) 2) 3)

逻辑是因为my_succ是一个函数，它接受一个arg并将它传递给另一个函数，该函数接受一个arg将其传递给第三个带有一个arg的函数。但是我得到了

application: not a procedure;
 expected a procedure that can be applied to arguments
  given: 1
  arguments.:

我尝试了谷歌搜索并找到了很多规则的代码，但没有应用这些规则的例子。我应该怎样调用上面的后继函数来测试它？

Answer 1

你混合了两个完全不同的东西：Lambet术语和Racket中的函数。

1. 在Racket中你可以有匿名函数，可以用λ表示法编写（比如返回整数后继的(λ(x) (+ x 1))，以便((λ(x) (+ x 1)) 1)返回2），< / LI>
2. 在Pure Lambda Calculus中你只有lambda术语，用类似的表示法编写，可以解释为函数。

在第二个域中，您没有像0, 1, 2, ...这样的自然数字，但是您只有 lambda术语，并且表示数字。例如，如果您使用所谓的Church numerals，则表示（在技术术语编码中）数字0，其中lambda术语为λf.λx.x，{{ 1}} 1，λf.λx.f x 2等等。

因此，函数λf.λx.f (f x)（对于用此编码表示的数字）对应于一个术语，在Racket表示法中，它是您编写的函数，但您不能将其应用于{{1}这样的数字}，successor等等，但只对其他lambda表达式，你可以这样写：

0

Racket中的结果是一个程序（它将打印为：1），但如果您尝试测试结果是否正确，请将其与(define zero (λ(f) (λ (x) x))) ; this correspond to λf.λx.x (successor zero) 的功能编码进行比较，会发现奇怪的事情。事实上：

#<procedure>

产生1，因为如果你比较Racket中的两个程序，你总是得到假（例如(equal? (successor zero) (λ(f) (λ(x) (f x)))) 产生#f），除非你比较“相同”（在“意义上”）相同的内存单元格“）值（(equal? (λ(x)x) (λ(x)x))给出#f）。这是因为，为了正确比较两个函数，你应该比较无限的几组（输入，输出）！

另一种可能性是将lambda术语表示为Racket中的某种结构，因此您可以表示Church数字，以及“普通”lambda术语，并定义函数(equal? zero zero)（或更好{{1}执行lambda-reduction。

Answer 2

您正在尝试应用柯里化。

(define my_succ
  (lambda(x)(
     lambda(y)(
       lambda(z)(
              (f x y z)))))

(define (add x y z)
  (+  x y z))

((( (my_succ add)1)2)3)

在 DR Racket 中的实现：