Question

飞机上有四个点有两个不同的相对位置：

在位置1中，四个点可以形成凸四边形（即convex hull），而在位置2，它们可以是（并且它们的凸包是三角形）。我的问题是：如何编写算法来确定点是在1位还是2位？（我知道所有四个点的坐标。）

Answer 1

对于平面中P，Q和R的任意三个点（不共线），您可以通过查看数量的符号来确定角度P-Q-R是逆时针还是顺时针转弯：

(P[0] - R[0]) * (Q[1] - R[1]) - (P[1] - R[1]) * (Q[0] - R[0])

其中P[0]和P[1]分别指代P的x坐标和y坐标，对于Q和R也是如此。

现在调用您的四个点P1，P2，P3和P4，并为四个三元组（P1，P2，P3），（P1，P2，P4），（P1，P3，P4）中的每一个计算这些符号，（P2，P3，P4）（这里要小心：上面表达式中点（P，Q，R）的顺序很重要）。如果所有符号相等，或者有两个正号和两个负号，则凸包是四边形。如果有三个正号和一个负号（或相反的方向），则四个点的凸包是一个三角形。或者更简单地说，如果您的符号表示为+1和-1，则将这四个符号相乘。如果产品是+1，则属于四边形;如果为-1，那么你就处于三角形的情况下。

以上假设四个点中没有三个是共线的;我留给你来列举堕落的案例。

由于这是StackOverflow，这里有一些代码（在Python中）。首先是ccw的定义（使用sign辅助函数）。

def sign(x):
    """ Return the sign of a finite number x. """
    if x > 0:
        return 1
    elif x < 0:
        return -1
    else:
        return 0

def ccw(P, Q, R):
    """ Return 1 if P-Q-R is a counterclockwise turn, -1 for clockwise,
        and 0 if the points are collinear (or not all distinct). """
    disc = (P[0] - R[0]) * (Q[1] - R[1]) - (P[1] - R[1]) * (Q[0] - R[0])
    return sign(disc)

然后对四个点进行分类。

def classify_points(P, Q, R, S):
    """ Return 1 if the convex hull of P, Q, R and S is a quadrilateral,
        -1 if a triangle, and 0 if any three of P, Q, R and S are
        collinear (or if not all points are distinct). """
    return ccw(P, Q, R) * ccw(P, Q, S) * ccw(P, R, S) * ccw(Q, R, S)

简单测试：应使用结果1对广场进行分类。

>>> # Test case 1: quadrilateral convex hull
>>> P = 0, 0
>>> Q = 0, 1
>>> R = 1, 0
>>> S = 1, 1
>>> classify_points(P, Q, R, S)
1

结果为-1的三角形。

>>> # Test case 2: triangle.
>>> P = 0, 0
>>> Q = 0, 3
>>> R = 3, 0
>>> S = 1, 1
>>> classify_points(P, Q, R, S)
-1

这是一个退化的情况（P，Q和S是共线的）：

>>> P = 1, 1
>>> Q = 2, 2
>>> R = 5, 7
>>> S = 4, 4
>>> classify_points(P, Q, R, S)
0

请注意，如果您使用不精确的浮点运算，则数值错误可能导致近简并情况被归类为退化，反之亦然。

为了证明上述原因：很容易检查交换ccw定义中的任何两个输入是否会反转结果的符号，并且交换classify_points定义中的任何两个输入都会留下符号产品不变。因此，我们可以任意对点进行重新排序，同时影响classify_points结果。

现在假设P1，P2，P3和P4有一个四边形凸包。然后通过上述观察，我们可以对点进行重新排序，以假设P1，P2，P3和P4以逆时针顺序绕过该四边形的边界。然后，每个ccw表达式都是1，因此classify_points的结果为1。类似地，如果P1，P2，P3和P4具有三角形凸包，我们可以重新排列，使P1，P2和P3围绕三角形边界逆时针转动，P4在三角形内，并且在这种情况下ccw符号是1，1，-1和1。

平面中四点的相对位置

1 个答案: