当弧度很大时，为什么这个sin cos查找表不准确？

Question

我想通过使用从0到UCHAR_MAX的数组索引创建一个sin cos查找表进行优化，因此0弧度为索引0，pi/2弧度为UCHAR_MAX/4 ：

sincos.h

#include <limits.h>
#include <math.h>
int sini[UCHAR_MAX];
int cosi[UCHAR_MAX];
#define MAGNIFICATION 256
#define SIN(i) sini[i]/MAGNIFICATION
#define COS(i) cosi[i]/MAGNIFICATION

void initTable(){
    for(int i=0;i<UCHAR_MAX;i++){
        sini[i]=sinf(i*2*M_PI/UCHAR_MAX)*MAGNIFICATION;
        cosi[i]=cosf(i*2*M_PI/UCHAR_MAX)*MAGNIFICATION;
    }
}

使用UCHAR_MAX作为最大值的原因是我想充分利用无符号字符串溢出来模拟仅从0到2*pi变化的弧度：例如，如果值为radian是2*pi，数组的索引变为UCHAR_MAX，因为它溢出，它自动变为0并且不需要mod（如果我使用0到360作为域我可能需要计算index%360每次）。然后我用一些弧度值测试它：

float rad[]={2.0f,4.0f,6.0f,8.0f,10.0f,-2.0f,-4.0f,-6.0f,-8.0f,-10.0f};

如下：

#include "sincos.h"
#include <stdio.h>
int main(){
    initTable();
    unsigned char radToIndex;
    float rad[]={2.0f,4.0f,6.0f,8.0f,10.0f,-2.0f,-4.0f,-6.0f,-8.0f,-10.0f};
    int scalar=123;
    printf("scalar=%d\n",scalar);
    for(int i=0;i<sizeof(rad)/sizeof(float);i++){
        radToIndex=rad[i]*UCHAR_MAX/2/M_PI;
        printf("%d*sin(%f) : %f , %d\n",scalar,rad[i],scalar*sinf(rad[i]),scalar*SIN(radToIndex));
    }
    return 0;
}

我用123*sin(radian)测试表，发现当弧度增加时（当弧度为10或-10时）结果开始超出实际值：

scalar=123
123*sin(2.000000) : 111.843582 , 111
123*sin(4.000000) : -93.086708 , -92
123*sin(6.000000) : -34.368107 , -35
123*sin(8.000000) : 121.691063 , 122
123*sin(10.000000) : -66.914597 , -61
123*sin(-2.000000) : -111.843582 , -112
123*sin(-4.000000) : 93.086708 , 90
123*sin(-6.000000) : 34.368107 , 38
123*sin(-8.000000) : -121.691063 , -122
123*sin(-10.000000) : 66.914597 , 59

并使用其他数据进行测试：

float rad[]={0.01f,0.1f,1.0f,10.0f,100.0f,1000.0f,-0.01f,-0.1f,-1.0f,-10.0f,-100.0f,-1000.0f};

输出：

scalar=123
123*sin(0.010000) : 1.229980 , 0
123*sin(0.100000) : 12.279510 , 12
123*sin(1.000000) : 103.500931 , 102
123*sin(10.000000) : -66.914597 , -61
123*sin(100.000000) : -62.282974 , -97
123*sin(1000.000000) : 101.706184 , -25
123*sin(-0.010000) : -1.229980 , 0
123*sin(-0.100000) : -12.279510 , -8
123*sin(-1.000000) : -103.500931 , -100
123*sin(-10.000000) : 66.914597 , 59
123*sin(-100.000000) : 62.282974 , 98
123*sin(-1000.000000) : -101.706184 , 22

当幅度增加时误差增加，所以当弧度很大时我很确定该表变得不准确。在sincos.h中有一个值MAGNIFICATION来控制精度，我把它从256改为4096，但似乎没有太大的改进：

scalar=123
123*sin(0.010000) : 1.229980 , 0
123*sin(0.100000) : 12.279510 , 12
123*sin(1.000000) : 103.500931 , 102
123*sin(10.000000) : -66.914597 , -62
123*sin(100.000000) : -62.282974 , -97
123*sin(1000.000000) : 101.706184 , -25
123*sin(-0.010000) : -1.229980 , 0
123*sin(-0.100000) : -12.279510 , -9
123*sin(-1.000000) : -103.500931 , -100
123*sin(-10.000000) : 66.914597 , 59
123*sin(-100.000000) : 62.282974 , 99
123*sin(-1000.000000) : -101.706184 , 22

为什么会发生这种情况？表有逻辑错误吗？

Answer 1

[编辑]

由于错误＆＃34; modulo＆＃34;角度增加超过360度，代码会遇到问题。 OP代码中的算术运算。产品rad[i]*UCHAR_MAX/2/M_PI被转换为（8位）unsigned char，其模数为256，但代码是按UCHAR_MAX（255）缩放表和代码。这个答案的最后一点详细说明了这一点，但很明显表和代码应该使用256而不是255。

unsigned char radToIndex;
radToIndex=rad[i]*UCHAR_MAX/2/M_PI; // wrong scaling
radToIndex=rad[i]*(UCHAR_MAX+1)/2/M_PI;  // right

此外，注意OP的代码在radToIndex == UCHAR_MAX时具有未定义的行为，因为这是int sini[UCHAR_MAX];的无效索引。

使用上面的修复和3下面的修复：表大小256，圆形索引，舍入正弦值，使用double表格创建结果：

123*sin(2.000000) : 111.843584 , 112
123*sin(4.000000) : -93.086707 , -93
123*sin(6.000000) : -34.368106 , -35
123*sin(8.000000) : 121.691064 , 121
123*sin(10.000000) : -66.914597 , -65
123*sin(-2.000000) : -111.843584 , -112
123*sin(-4.000000) : 93.086707 , 93
123*sin(-6.000000) : 34.368106 , 35
123*sin(-8.000000) : -121.691064 , -121
123*sin(-10.000000) : 66.914597 , 65

代码也经历了double rounding或更为珍贵：双截断。

radToIndex=rad[i]*UCHAR_MAX/2/M_PI;截断为0.因此索引变小，而不是最接近。

表格创建sini[i]=sinf(i*2*M_PI/UCHAR_MAX)*MAGNIFICATION;也会截断为0.因此，sini[]会缩小，而不是最接近int。

要改进，只需使用round()舍入到最近。

sini[i] = (int) roundf(sinf(i*2*M_PI/UCHAR_MAX)*MAGNIFICATION);
radToIndex= (int) round(rad[i]*UCHAR_MAX/2/M_PI);

作为一般说明，由于float通常为24位精度且int可能为31 +符号，因此请使用double创建表格以进行其他改进。

sini[i] = (int) round(sin(i*2.0*M_PI/UCHAR_MAX)*MAGNIFICATION);

此外，建议使用UCHAR_MAX + 1请参阅BAM：

关闭1。

  

数组的索引变为UCHAR_MAX，因为它溢出，它会自动变为0

UCHAR_MAX没有溢出，UCHAR_MAX + 1溢出并变为0.（unsigned char math）

int sini[UCHAR_MAX+1];
for (int i=0; i<(UCHAR_MAX+1); i++) {
  // Rather than `i*2*M_PI/UCHAR_MAX`, use 
  sini[i]=sinf(i*2*M_PI/(UCHAR_MAX + 1))*MAGNIFICATION;

Answer 2

问题来源

看起来您从浮点数的舍入和将浮点数分配给unsigned char时会出现错误。

以下程序根据您发布的代码进行了改编，演示了即使在对浮点数进行舍入后索引也会开始偏离。

#include <limits.h>
#include <math.h>

int sini[UCHAR_MAX];
int cosi[UCHAR_MAX];
double angle[UCHAR_MAX];


#define MAGNIFICATION 256
#define SIN(i) sini[i]/MAGNIFICATION
#define COS(i) cosi[i]/MAGNIFICATION

void initTable()
{
   double M_PI = 4.0*atan(1.0);
   for(int i=0;i<UCHAR_MAX;i++)
   {
      angle[i] = i*2*M_PI/UCHAR_MAX;
      sini[i]=sinf(angle[i])*MAGNIFICATION;
      cosi[i]=cosf(angle[i])*MAGNIFICATION;
   }
}

#include <stdio.h>

void test3()
{
   int radToIndexInt;
   unsigned char radToIndexChar;
   float radTemp;
   float rad[]={2.0f,4.0f,6.0f,8.0f,10.0f,-2.0f,-4.0f,-6.0f,-8.0f,-10.0f};
   double M_PI = 4.0*atan(1.0);

   for(int i=0;i<sizeof(rad)/sizeof(float);i++)
   {
      radTemp = rad[i]*UCHAR_MAX/2/M_PI;
      radToIndexInt = round(radTemp);
      radToIndexInt %= UCHAR_MAX;
      if ( radToIndexInt < 0 )
      {
         radToIndexInt += UCHAR_MAX;
      }

      radToIndexChar = round(radTemp);

      printf("radToIndexInt: %d, radToIndexChar: %d\n",
             radToIndexInt, radToIndexChar);

   }
}

int main()
{
   initTable();

   test3();

   return 0;
}

上述计划的输出：

radToIndexInt: 81, radToIndexChar: 81
radToIndexInt: 162, radToIndexChar: 162
radToIndexInt: 244, radToIndexChar: 244
radToIndexInt: 70, radToIndexChar: 69
radToIndexInt: 151, radToIndexChar: 150
radToIndexInt: 174, radToIndexChar: 175
radToIndexInt: 93, radToIndexChar: 94
radToIndexInt: 11, radToIndexChar: 12
radToIndexInt: 185, radToIndexChar: 187
radToIndexInt: 104, radToIndexChar: 106

<强>解决方案

使用

  radToIndex=round(radTemp);
  radToIndex %= UCHAR_MAX;
  if ( radToIndex < 0 )
  {
     radToIndex += UCHAR_MAX;
  }

计算索引，我得到非常接近的答案：

这是一个程序，再次根据您发布的代码进行调整，演示使用上述逻辑。

#include <limits.h>
#include <math.h>

int sini[UCHAR_MAX];
int cosi[UCHAR_MAX];
double angle[UCHAR_MAX];


#define MAGNIFICATION 256
#define SIN(i) sini[i]/MAGNIFICATION
#define COS(i) cosi[i]/MAGNIFICATION

void initTable()
{
   double M_PI = 4.0*atan(1.0);
   for(int i=0;i<UCHAR_MAX;i++)
   {
      angle[i] = i*2*M_PI/UCHAR_MAX;
      sini[i]=sinf(angle[i])*MAGNIFICATION;
      cosi[i]=cosf(angle[i])*MAGNIFICATION;
   }
}

#include <stdio.h>

void test2()
{
   int radToIndex;
   float radTemp;
   int scalar=123;
   float rad[]={0.01f,0.1f,1.0f,10.0f,100.0f,1000.0f,-0.01f,-0.1f,-1.0f,-10.0f,-100.0f,-1000.0f};
   double M_PI = 4.0*atan(1.0);

   printf("scalar=%d\n",scalar);
   for(int i=0;i<sizeof(rad)/sizeof(float);i++)
   {
      radTemp = rad[i]*UCHAR_MAX/2/M_PI;
      radToIndex=round(radTemp);
      radToIndex %= UCHAR_MAX;
      if ( radToIndex < 0 )
      {
         radToIndex += UCHAR_MAX;
      }
      printf("%d*sin(%f) : %f , %d\n",
             scalar,rad[i],scalar*sinf(rad[i]),scalar*SIN(radToIndex));

   }
}

void test1()
{
   int radToIndex;
   float radTemp;
   int scalar=123;
   float rad[]={2.0f,4.0f,6.0f,8.0f,10.0f,-2.0f,-4.0f,-6.0f,-8.0f,-10.0f};
   double M_PI = 4.0*atan(1.0);

   printf("scalar=%d\n",scalar);
   for(int i=0;i<sizeof(rad)/sizeof(float);i++)
   {
      radTemp = rad[i]*UCHAR_MAX/2/M_PI;
      radToIndex=round(radTemp);
      radToIndex %= UCHAR_MAX;
      if ( radToIndex < 0 )
      {
         radToIndex += UCHAR_MAX;
      }
      printf("%d*sin(%f) : %f , %d\n",
             scalar,rad[i],scalar*sinf(rad[i]),scalar*SIN(radToIndex));

   }
}

int main()
{
   initTable();

   test1();
   test2();

   return 0;
}

输出：

scalar=123
123*sin(2.000000) : 111.843582 , 111
123*sin(4.000000) : -93.086708 , -92
123*sin(6.000000) : -34.368107 , -32
123*sin(8.000000) : 121.691063 , 121
123*sin(10.000000) : -66.914597 , -67
123*sin(-2.000000) : -111.843582 , -111
123*sin(-4.000000) : 93.086708 , 92
123*sin(-6.000000) : 34.368107 , 32
123*sin(-8.000000) : -121.691063 , -121
123*sin(-10.000000) : 66.914597 , 67
scalar=123
123*sin(0.010000) : 1.229980 , 0
123*sin(0.100000) : 12.279510 , 12
123*sin(1.000000) : 103.500931 , 103
123*sin(10.000000) : -66.914597 , -67
123*sin(100.000000) : -62.282974 , -63
123*sin(1000.000000) : 101.706184 , 102
123*sin(-0.010000) : -1.229980 , 0
123*sin(-0.100000) : -12.279510 , -12
123*sin(-1.000000) : -103.500931 , -103
123*sin(-10.000000) : 66.914597 , 67
123*sin(-100.000000) : 62.282974 , 63
123*sin(-1000.000000) : -101.706184 , -102