你究竟如何计算快速傅立叶变换？

Question

我一直在阅读很多关于快速傅立叶变换的内容，并且我正在尝试理解它的低级方面。不幸的是，谷歌和维基百科根本没有太大的帮助..而且我已经开放了5种不同的算法书籍也没有多大帮助。

我正在尝试找到像矢量[1,0,0,0]那样简单的FFT。当然我可以将其插入Matlab，但这无助于我理解底层正在发生的事情。另外，当我说我想找到一个向量的FFT时，就像说我想用一个更有效的算法找到一个向量的DFT一样吗？

Answer 1

你是对的，“快速傅里叶变换只是任何算法的名称，它在O（n log n）时间内计算离散傅立叶变换，并且有几种这样的算法。

这是我想到的最简单的DFT和FFT解释，也是小N的例子，这可能会有所帮助。 （请注意，有其他解释和其他算法。）

离散傅立叶变换

给定N个数字f ₀ ，f ₁ ，f ₂ ，...，f _{N-1 < / sub>，DFT提供了一组不同的N个数字。}

具体来说：设ω是1的原始 N <根（在复数或某个有限域中），这意味着ω ^N = 1但是没有更小的权力是1.您可以将f _k 视为多项式的系数P（x）=Σf _k x ^k 。 DFT给出的 N 新数字F ₀ ，F ₁ ，...，F _N-1 是在ω的幂处评估多项式的结果。也就是说，对于从0到N-1的每个 n ，新的数字F _n 是P（ω ⁿ ）=Σ _0≤k≤N-1 f _k ω ^nk 。

[选择ω的原因是逆DFT具有很好的形式，非常类似于DFT本身。]

请注意，找到这些F天真地需要O（N ² ）操作。但是我们可以利用来自我们选择的ω的特殊结构，这允许我们在O（N log N）中进行。任何这样的算法都称为快速傅里叶变换。

快速傅立叶变换

所以这是进行FFT的一种方法。我将用2N替换N以简化符号。我们有f ₀ ，f ₁ ，f ₂ ，...，f _2N-1 ，我们想要计算P（ω ⁰ ），P（ω ¹ ），... P（ω ^2N-1 ）我们可以写的

  

P（x）= Q（x）+ω ^N R（x）with

     

Q（x）= f ₀ + f ₁ x + ... + f _N-1 x ^{N-1 < / sup>}

     

R（x）= f _N + f _{N + 1} x + ... + f _2N-1 x ^{2N- 1}

现在这里是美丽的东西。观察到ω ^{k + N} 的值非常简单地与ω ^k 的值相关：
P（ω ^{k + N} ）=ω ^N （Q（ω ^k ）+ω ^N R（ω ^k ））= R（ω ^k ）+ω ^N Q（ω ^k ）。因此，在ω ⁰ 到ω ^N-1 的Q和R的评估就足够了。

这意味着你原来的问题 - 在2N点评估2N项多项式Pω ⁰ 到ω ^2N-1 - 已经减少到两个问题评估N点多项式Q和R在N点ω ⁰ 到ω ^N-1 。所以运行时间T（2N）= 2T（N）+ O（N）以及所有这些，得到T（N）= O（N log N）。

DFT的例子

请注意，其他定义的因子为1 / N或1 /√N。

对于N = 2，ω= -1，（a，b）的傅立叶变换是（a + b，a-b）。

对于N = 3，ω是1的复立方根，（a，b，c）的傅立叶变换是（a + b + c，a +bω+cω ² ，a +bω ² +cω）。 （因为ω ⁴ =ω。）

对于N = 4且ω= i，（a，b，c，d）的傅里叶变换是（a + b + c + d，a + bi-c-di，a-b + cd，一个-BI-C + DI）。特别是你问题中的例子：（1,0,0,0）上的DFT给出（1,1,1,1），也许并不是很有启发性。

Answer 2

FFT只是DFT的有效实现。两者的结果应该相同，但通常FFT会快得多。确保您首先了解DFT的工作原理，因为它更简单，更容易掌握。

当您了解DFT时，请转到FFT。注意，尽管一般原理是相同的，但FFT有许多不同的实现和变化，例如，抽取时间v抽取频率，基数2 v其他基数和混合基数，复数到复数v实数到复数等。

关于这个主题的一本很好的实用书是E. Brigham的Fast Fourier Transform and Its Applications。

Answer 3

是的，FFT只是一种有效的DFT算法。理解FFT本身可能需要一些时间，除非你已经研究过复数和连续傅里叶变换;但它基本上是从周期函数派生的基础的基础变化。

（如果您想了解有关傅里叶分析的更多信息，我推荐Gerald B. Folland撰写的傅立叶分析及其应用一书）

Answer 4

我也是傅立叶变换的新手，我发现这本在线书很有帮助：

The Scientists and Engineer's Guide to Digital Signal Processing

该链接将带您进入离散傅里叶变换的章节。本章解释了所有傅里叶变换之间的区别，以及您使用哪一个和伪代码，以及如何计算离散傅里叶变换。

Answer 5

如果您寻求DFT的简单英语解释和一点FFT，而不是学术 goggledeegoo ，那么必须读取此内容：http://blogs.zynaptiq.com/bernsee/dft-a-pied/

我自己无法解释得更好。