Question

抱歉我的英文。我使用谷歌翻译。

证明任意类型（X：Set）是真的吗？

double-negation : ∀ X → ¬ (¬ X)
double-negation = ?

其中：

data ⊥ : Set where

data ¬_ (X : Set) : Set where
    ¬-constructor : (X → ⊥) → ¬ X

例如，证明ℕ：

很简单

data ℕ : Set where
    zero : ℕ
    suc  : ℕ → ℕ

double-negation : ℕ → ¬ (¬ ℕ)
double-negation n =
    ¬-constructor negation-contradiction
    where
        negation-contradiction : ¬ ℕ → ⊥
        negation-contradiction (¬-constructor ν) = ν n

但在用ℕ替换X之后，无法检查它（因为n的类型未知，因此negation-contradiction的类型未知。此外，它可以＆＃39 ;推断（我得到¬ n → ⊥））。

我该如何证明？

Answer 1

你无法证明

∀ X → ¬ (¬ X)（1）

请记住

ℕ → ¬ (¬ ℕ)

不是（1）的实例，而是

∀ X → X → ¬ (¬ X)

可以证明。

Answer 2

∀ X → ¬ (¬ X)读起来像“所有命题都不是假的”。但是⊥（和许多其他人）是错误的，所以我们实际上可以反驳你的陈述：

open import Function
open import Relation.Nullary
open import Data.Empty

nope : ¬ ((X : Set) -> ¬ (¬ X))
nope c = c ⊥ id

双重否定证明

2 个答案: