Question

我有两个正方形，S1 =（x1，y1，x2，y2）和S2 =（a1，b1，a2，b2）

我正在寻找A变换矩阵 A * S1 = S2

据我所知，A是一个仿射3x3矩阵，所以我有9个未知值。

如何计算这些值？

谢谢，最好的，尤

Answer 1

这里只有四个未知值。旋转角度，比例因子和x和y平移。在你的三乘三矩阵中，底行总是0,0,1，这会使你减少到六个未知数。右侧列将是Tx,Ty,1，这是您的翻译（以及我们已经知道的1）。

左边两个“矩阵”将是你的旋转和缩放。这将（在我的头顶）是这样的：

ACos(B), -Asin(B)
ASin(B),  aCos(B)

所以总的来说：

ACos(B), -Asin(B), Tx
ASin(B),  ACos(B), Ty
0      ,  0      , 1

使用每个坐标末尾的1扩展坐标矩阵，得到2x3矩阵，然后乘以得到四个变量需要求解的四个方程式。这留给读者练习。

Answer 2

变换矩阵是缩放矩阵Ss，转移矩阵St和旋转矩阵Sr的因子。

假设旧点是Po是（Xo，Yo）并且向量将表示为（Xo Yo 1）'对于新点Pn相同然后Pnv = Ss St SrPov Sx在哪里

Sx  0    0
0   Sy   0
0   0    1

St是

1   0   Tx
0   1   Ty
0   0   1

Sr是

Cos(th)    -Sin(th)    0
Sin(th)     Cos(th)    0
0           0          1

现在回到你的问题。如果两个点表示矩形，我们可以找到两个矩阵的参数，第三个将是一个单位矩阵。

Rect1表示为左上点P11和右下点P12 Rect2表示为左上点P21和右下点P22

S = SS * ST

Sx  0  Tx
0   Sy Ty
0   0  1

现在你有4个缺失参数和4组方程

P21=S*P11
P22=S*P12

X[P21] =Sx*X[P11]+Tx
Y[P21] =Sy*Y[P11]+Ty
X[P22] =Sx*X[P12]+Tx
Y[P22] =Sy*Y[P12]+Ty

解决它，你会得到答案。

如果你有过渡和旋转那么 S =锶* ST

Cos(th)    -Sin(th)    Tx
Sin(th)     Cos(th)    Ty
0           0          1

现在您有3个缺失参数和4组方程式

P21=S*P11
P22=S*P12

X[P21] =Cos(th)*X[P11]-Sin(th)*Y[P11]+Tx
Y[P21] =Sin(th)*X[P11]+Cos(th)*Y[P11]+Ty
X[P22] =Cos(th)*X[P11]-Sin(th)*Y[P12]+Tx
Y[P22] =Sin(th)*X[P11]+Cos(th)*Y[P12]+Ty

用A替换Cos（th）和用B替换Sin（th）并求解方程式。

X[P21] =A*X[P11]-B*Y[P11]+Tx
Y[P21] =B*X[P11]+A*Y[P11]+Ty
X[P22] =A*X[P11]-B*Y[P12]+Tx
Y[P22] =B*X[P11]+A*Y[P12]+Ty

检查其是否正确A^2+B^2 =? 1 if是否为th = aCos(A)

解决方案的最后一部分，如果你有三个矩阵，那么S = Sr St Ss

 Sx*sin(th) -Sx*cos(th)  Tx
 Sy*cos(th)  Sy*sin(th)  Ty
          0           0   1

现在我们有5个缺失的变量，我们需要6个不同的方程组来解决它。这意味着每个矩形的3个点。

Answer 3

如果您只是想要转换2D对象，则不应该有3x3矩阵。您正在寻找的是一个2x2矩阵，可以解决A * S1 = S2。这可以通过许多不同的方式完成;在MATLAB中，你需要S2/S1（right matrix division），通常这会执行某种Gaussian elimination。

Answer 4

如何计算这些值？

当应用于2d / 3d变换时，矩阵可以表示为坐标系，除非我们讨论的是投影。

矩阵行（或列，取决于符号）形成新坐标系的轴，如果每个对象顶点乘以矩阵，将放置对象。最后一行（或柱状，取决于符号）指向新坐标系的中心。

标准OpenGL / DirectX变换矩阵（非投影矩阵）：

class Matrix{//C++ code
public:
    union{
        float f[16];
        float m[4][4];
    };
};

可以表示为4个向量vx（新坐标系的x轴），vy（新坐标系的y轴），vz（新坐标系的z轴）和vp（中心的新系统）。像这样：

vx.x vx.y vx.z 0
vy.x vy.y vy.z 0
vz.x vz.y vz.z 0
vp.x vp.y vp.z 1

所有“计算旋转矩阵”，“计算尺度矩阵”等都归结为这个想法。

因此，对于2d矩阵，你将有3x3矩阵由3个向量组成 - vx，vy，vp，因为在2d中没有z向量。即：

vx.x vx.y 0
vy.x vy.y 0
vp.x vp.y 1

要找到将quad A变换为quad B的变换，您需要找到两个变换：

将四A移动到原点（即在零点处）的变换，并将其转换为固定大小的四边形。比方说，quad（矩形），其顶点x = 0，y = 0，其顶点位于（0,1），（1,0），（1,1）。
将固定大小的四边形变为四边形B的变换。

如果四边形的相对边不平行，则不能这样做。即平行四边形是好的，但随机的4面多边形不是。

四边形可以由基点（vp）表示，基点（vp）可以是四边形的任何顶点，两个矢量定义四边形尺寸（边缘的方向乘以边缘的长度）。即“向上”向量和“侧”向量。这使它成为一个矩阵：

side.x side.y 0
up.x   up.y   0
vp.x   vp.y   1

因此，通过此矩阵乘以四元组（vp.x = 0，vp.y = 0，side.x = 1，side.y = 0，up.x = 0，up.y = 1）将转向原始四边形到您的四边形。这意味着，为了改造四A到四B，你需要这样做：

1）制作一个矩阵，将“base 1unit quad”变换为quad A.让我们称它为matA。
2）制作一个矩阵，将“base 1 unit quad”变换为quad B.让我们称它为matB 3）反转matA并将结果存储到invMatA中 4）结果矩阵是invMatA * matB。

完成。如果将四A乘以结果矩阵，则会得到四边形B.如果四边形的宽度或高度为零，则无效。如果四边形不是平行四边形，则无效。

这很难理解，但我不能让它变得更简单。

Answer 5

S1 = (x1,y1,x2,y2)你是什么意思？

它们代表广场的左上角和右下角吗？

另外，你能保证正方形之间只有旋转吗？或者你需要一个完整的仿射变换，它允许缩放，倾斜和平移吗？

或者您还需要透视转换吗？

只有当它是透视变换时，你需要3x3矩阵和8自由度，如你在帖子中提到的那样。

将2d方形旋转到另一个方形

5 个答案: