病态严重的线性系统

Question

我有一个线性系统要解决，写成Ax = b A是175乘175对称的正方形，其对角线（即aii = 1），其他条目的范围从0到1（即0）

A病情很严重，而且不是肯定的，其等级为162，其病情数为3.5869e + 16

我花了几天时间在MATLAB中解决这个问题，我已经尝试了几乎所有我能找到的方法，包括\，pcg，bicg，bicgstab，bicgstabl，cgs，gmres，lsqr，minres，qmr，symmlq，tfqmr 这些方法给了我一些解决方案。但我不知道如何信任他们，或者信任哪种解决方案。有确定的标准吗？

我会感谢能够给我一个值得信任的解决方案的人。 谢谢！

A和b存储在.mat文件中，可以从Dropbox链接下载：

https://www.dropbox.com/s/s6xlbq68juqs6xi/A.mat?dl=0

https://www.dropbox.com/s/pxl0hdup20hf2lr/b.mat?dl=0

像这样使用：

负载（＆＃39; A.mat＆＃39）;

负载（＆＃39; b.mat＆＃39）;

x = A \ b;

Answer 1

不确定这是否会有所帮助，但请试一试：

Tikhonov regularization

基本上，当由于病态而难以计算以下内容时：

您最小化以下内容

成为\ Gamma通常是单位矩阵。

最后，您得到x的以下等式：

除此之外，您通常还需要添加一个＆＃34;超参数＆＃34;来控制您将问题规范化的程度。所以\ Gamma而不仅仅是单位矩阵，它将是一个数字（即0.001）乘以size(A)的单位矩阵。

在Matlab中尝试最后的等式应该很简单。试一试。

注意：这不是答案。实际上可能没有解决病态问题的独特答案。这只是一种方法。