Question

编辑：n是人数。 k是被淘汰的第k个人。所以对于k = 2，每个第二个人都会被淘汰。

int josephus(int n, int k)
{
 if (n == 1)
  return 1;
else
   return (josephus(n - 1, k) + k-1) % n + 1;
}

代码尽可能简单。但不知何故，我无法理解这个问题（说实话有点尴尬）。

我试图理解它的方式是，

josephus（n，k）为大小为n且步长为k的总体提供最终解决方案。
josephus（n，k）。这是我认为动态规划的“最优子结构属性”。
我知道我们需要做一个MOD N，这样如果数字越过n，它将再次从1开始计数。（即确保加法的行为就像我们在圆圈中计算一样）。但为什么我们加上这个“k-1”？

主要的问题是，如果我们知道约瑟夫斯（n-1，k）的正确解，我们如何计算约瑟芬（n，k）的解。我们已经有效地向人群增加了一个人，并且以某种方式添加这个k-1值给了我正确的解决方案（让我们暂时忽略mod）。

任何人都可以向我解释一下，在问题的每一步中，最佳子结构属性如何保持？

Answer 1

使这个解决方案对我有意义的关键见解如下：josephus(n, k)的结果最好不被认为是数字是约瑟夫斯的幸存者，而是约瑟夫斯幸存者号码的指数。例如，调用josephus(5, 2)会告诉您最终存活的五人中的人的索引。

考虑到这种直觉，让我们通过一个具体的例子思考约瑟夫斯问题是如何运作的。假设我们想知道josephus(n, 2)。你可以想象我们有这样的人排队：

1 2 3 4 5 ... n

首先发生的事情是1人杀死了人2，如下所示：

1 X 3 4 5 ... n

现在，我们留下了以下形式的子问题：剩下n-1个人，每个人都会被杀，第一个将要刺伤的人是3人。话说，我们留下了一团形状像这样的人：

3 4 5 ... n 1

k = 2.现在，假设我们对josephus(n - 1, 2)进行递归调用，因为我们有n - 1个人。这将返回在一行n - 1人中幸存的索引。鉴于我们拥有将要生存的人的索引，并且我们也知道起始人是谁，我们可以确定将留下哪个人。我们将如何做到这一点。

此行中的起始人是最后被执行者之后的人。这将是人3.幸存者在四人环中的1个索引位置由josephus(n - 1, 2)给出。因此，我们可以向前走josephus(n - 1, 2) - 1个位置，必要时环绕环，以到达我们的最终位置。换句话说，幸存者按位置给出

 (3 + josephus(n - 1, 2) - 1) % n

但上述公式存在问题。如果我们确实使用单索引，如果最终幸存者位于n位置会发生什么？在那种情况下，我们不小心回到0位作为我们的答案，但我们真的想要位置n。作为对此的修复，我们将使用一个技巧来使用mod来包围一个索引：我们将获取内部数量（一个索引位置）并减去一个以获得零索引位置。我们将该数量修改为n以获得零索引位置。最后，我们将添加一个以获得一个索引位置，包裹。看起来像这样：

(3 + josephus(n - 1, 2) - 2) % n + 1

这里的-2项因此来自两个独立的-1：第一个-1是因为josephus(n - 1, 2)返回一个索引的索引，所以要向前迈出正确的位置数量{} 1}}向前迈进。第二个-1来自我们使用单索引而不是零索引的事实。

让我们将其概括为适用于任意k，而不仅仅是k = 2.假设我们想知道josephus(n - 1, 2) - 1。在这种情况下，人1将刺伤人k，留下我们这样的阵列：

josephus(n, k)

我们现在基本上需要解决人k + 1首先出现的子问题：

1 2 3 ... k-1 X k+1 ... n

因此，我们计算k+1 k+2 ... n 1 2 ... k-1以获得一个k人环的单索引幸存者，然后向前移动那么多步：

josephus(n - 1, k)

我们需要担心我们环绕的情况，所以我们需要修改n：

(k+1 + josephus(n - 1, k) - 1)

但是，我们是单索引的，所以我们需要使用从内部数量减去1然后在结尾添加1的技巧：

(k+1 + josephus(n - 1, k) - 1) % n

简化为

(k+1 + josephus(n - 1, k) - 2) % n + 1

相当于

(k-1 + josephus(n - 1, k)) % n + 1

与解决方案代码一样。

总结一下：k-1项来自于位置k + 1，加上(josephus(n - 1, k) + k-1) % n + 1以向前移动适当的数量，然后减去一个并在最后添加一个以进行正确的环绕

希望这有帮助！

解释约瑟夫斯概率的递归实现

1 个答案: