排序算法中决策树的分析

Question

在具有n个元素的排序算法中的高度为h的决策树中：

我们有这样的事情：

n! <= 2^h

因此h＆gt; = log（n！）

我知道n ^ n大于n！，但在这里我们讨论的是最坏情况的下界，log（n！）的图形低于（log n ^ n）的图形。所以答案应该是Ω（log n！），因为它不能低于它。

那么我们怎么能在这之后说h =Ω（nlogn）..？

Answer 1

这里基本上是你的日志的近似值（n！）：

你可以从Stirling's approximation证明，这是n!的近似值：

在那里，他们也会给你一个稍微不那么近似的近似值：

如果您对如何证明它感兴趣，请仔细使用斯特林公式中的日志。

Answer 2

你说对了！并且n ⁿ 具有不同的生长速率，但它们的对数（log n！和log n ⁿ ）实际上具有相同的生长速率。 @Salvador Dali指出，斯特林的近似是一种很好的方式来看待这一点，但这是另一种看待它的方式。

首先，请注意log n ⁿ = n log n通过对数属性。这很简单。

怎么样（log n！）？首先，请注意

  

log n！

     

= log（n·（n-1）·（n-2）·..·2·1）

     

= log n + log（n-1）+ log（n-2）+ ... + log 2 + log 1

这再次使用对数属性。从这里，我们可以看到log n！ = O（n log n），因为

  

log n + log（n-1）+ log（n-2）+ ... + log 2 + log 1

     

≤logn + log n + log n + ... + log n + log n（n次）

     

= n log n

我也要声称登录n！ =Ω（n log n）。这是一种看待这个的方法。查看上述求和的前n / 2项，即

  

log n + log（n-1）+ log（n-2）+ ... + log（n / 2）

请注意，此数量不小于

  

log（n / 2）+ log（n / 2）+ log（n / 2）+ ... + log（n / 2）（n / 2次）

     

=（n / 2）log（n / 2）

最后一个数量是Ω（n log n），所以总体来说我们看到log n！ = O（n log n）和log n！ =Ω（n log n），所以n！ =Θ（n log n）。换句话说，记录n！渐渐地以与log n ⁿ 相同的速率渐近地增长，即使原始函数是n！和 ⁿ 有不同的增长率。

希望这有帮助！