Question

我需要用一些数据来计算弧长：

Start指向坐标（Xs，Ys，Zs）
End指向坐标（Xe，Ye，Ze）
Center指向坐标（Xc，Yc，Zc）
Axis向量与组件（Xa，Ya，Za）

Arc从Start点开始，在End点结束，半径等于DistanceBetween(Center, Start)和DistanceBetween(Center, End)，他的方向由Axis向量。

示例：

Arc {
  Start   { -18.123, -11.805, 0 },
  End     { -17.167,  -0.553, 0 },
  Center  {  -9.421,  -6,877, 0 },
  Axis    { 0, 0, -1 }
}

注意：在此示例中，弧具有顺时针方向

我的问题是：我可以计算大或小的长度，但我无法根据轴的方向确定好的值。

欢迎提供一些帮助。

Answer 1

假设您的数据全部是自洽的（中心必须与起点和终点等距，并且轴应垂直于包含起点，终点和中心的平面），弧长是以弧度为单位的度量角度开始 - ＆gt;中心 - ＆gt;结束乘以半径（从中心到开始的距离，或等效地，从中心到结束的距离）。可以通过余弦定律找到角度的度量：C^2 = A^2 + B^2 - 2AB cos theta其中C是从开始到结束的距离，A是从中心到开始的距离，B是从中心到结束的距离。在这种情况下，公式可以简化为C^2 = 2R^2 - 2R^2 cos theta，可以求解cos theta，然后使用反余弦来获得theta。

如果我理解正确，你已经走得那么远，但问题是cos的倒数通常有两个值，对应于开始和结束之间的短弧和长弧，你不要＃ 39;知道要选哪个。

反余弦的主要分支，如果使用库函数arccos，则会得到短角度。你需要另一种方法来确定正确的角度是短还是长。

我建议的方法是使用cross product。感兴趣的公式是

a x b = |a| |b| sin(\theta) n

其中a是向量开始 - 中心，b是向量End - Center，|a|=|b|=R，n是由您的轴确定的单位向量。根据余弦定律，您已经或多或少地具有角度θ，因此您不需要计算arcsin;此时你真正感兴趣的是sin(theta)的标志。如果a x b和n方向相同，sin(theta)>0并采用余弦定律确定的短弧。如果a x b和n方向相反，sin(theta)<0，则采用余弦定律确定的长弧。

您可以通过获取点积来判断a x b和n是否在相同或相反的方向。如果点积为正，则它们的方向相同。如果点积为负，则它们的方向相反。

使用起点/终点/中心点和轴

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