将二次贝塞尔曲线（3点）转换为立方贝塞尔曲线（4点）的算法是什么？
答案 0 :(得分：44)
来自http://fontforge.sourceforge.net/bezier.html：
任何二次样条可以表示为立方（其中立方项为零）。立方体的终点与二次方的终点相同。
CP 0 = QP 0
CP 3 = QP 2立方体的两个控制点是：
CP 1 = QP 0 + 2/3 *（QP 1 -QP 0 ）
CP 2 = QP 2 + 2/3 *（QP 1 -QP 2 ）...由于四舍五入而引入了一个小错误，但它不太可能引人注意。
答案 1 :(得分：2)
只需给出已接受答案的证明即可。
二次贝塞尔曲线表示为：
Q（t）= Q 0 （1-t）²+ 2 Q 1 （1-t）t + Q 2 t²
三次贝塞尔曲线表示为：
C（t）= C 0 （1-t）³+ 3 C 1 （1-t）²t + 3 C 2 （1-t）t²+ C 3 t³
要使这两个多项式相等，它们的所有多项式系数必须相等。多项式系数通过以下表达式获得（例如：（1-t）²= 1-2t +t²），然后将1，t，t²和t³中的所有项分解为因子：
Q（t）= Q 0 +（-2Q 0 + 2Q 1 ）t +（Q 0 -2Q 1 + Q 2 ）t²
C（t）= C 0 +（-3C 0 + 3C 1 ）t +（3C 0 -6C 1 + 3C 2 ）t²+（-C 0 + 3C 1 -3C 2 + C 3 ）t³
因此，我们得到以下4个方程：
C 0 = Q 0
-3C 0 + 3C 1 = -2Q 0 + 2Q 1
3C 0 -6C 1 + 3C 2 = Q 0 -2Q 1 + Q 2
-C 0 + 3C 1 -3C 2 + C 3 = 0
我们可以通过在第二行中用Q 0 替换C 0 来求解C 1 ，这样得出：
C 1 = Q 0 +（2/3）（Q 1 -Q 0 ）< / p>
然后，我们可以继续替换以求解C 2 然后是C 3 ，或者简单地说“对称”，得出结论：
C 0 = Q 0
C 1 = Q 0 +（2/3）（Q 1 -Q 0 ）< / p>
C 2 = Q 2 +（2/3）（Q 1 -Q 2 ）< / p>
C 3 = Q 2
答案 2 :(得分：0)
作为参考，我基于Owen's answer above为NSBezierPath（macOS Swift 4）实现了addQuadCurve。
extension NSBezierPath {
public func addQuadCurve(to qp2: CGPoint, controlPoint qp1: CGPoint) {
let qp0 = self.currentPoint
self.curve(to: qp2,
controlPoint1: qp0 + (2.0/3.0)*(qp1 - qp0),
controlPoint2: qp2 + (2.0/3.0)*(qp1 - qp2))
}
}
extension CGPoint {
// Vector math
public static func +(left: CGPoint, right: CGPoint) -> CGPoint {
return CGPoint(x: left.x + right.x, y: left.y + right.y)
}
public static func -(left: CGPoint, right: CGPoint) -> CGPoint {
return CGPoint(x: left.x - right.x, y: left.y - right.y)
}
public static func *(left: CGFloat, right: CGPoint) -> CGPoint {
return CGPoint(x: left * right.x, y: left * right.y)
}
}