上限和下限

Question

假设有一个给定的数字我们应该测试它是否是四个连续数字的乘积？

因此，如果y是我们给定的号码，我们应该测试y = x(x+1)(x+2)(x+3)是否为任意x？

如何为此问题设计算法？

我这样做了：

import java.util.*;

public class Product 
{
    public static int product(int i)
    {
         return i * (i+1) * (i+2) * (i+3);
    }

    public static void main(String[] args) 
    {
        Scanner scnr = new Scanner(System.in);
        int x = scnr.nextInt();
        for (int i = 0; i < x/2; i++)
        {
            if (product(i) == x)
            {
                System.out.println("number is product of 4 consecutive numbers");
                break;
            }
        }
    }
}

Answer 1

从

开始

y = x(x+1)(x+2)(x+3) = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x

请注意，系数几乎看起来是对称的，但最后没有1。

所以假设

y = z^2 - 1

即

z^2 = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1

x的所有幂的系数最多为4，而x ^ 4和x ^ 0的系数都是1，所以我们需要找到x ^ 1的系数，我们称之为a：< / p>

z = (x^2 + ax + 1)^2 = x^4 + 2ax^3 + (2+a^2)x^2 + 2ax + 1

比较x ^ 1，x ^ 2或x ^ 3的系数得出a = 3

（上面的等式不要求x，y或z中的任何一个是整数，但可能会丢失我们不感兴趣的复杂或负根）

所以我们可以解决x的二次方：

x^2 + 3x + 1 - sqrt(y+1) = 0

给出

x = -3 +/- sqrt(9 - 4 * (1-sqrt(y+1))) 
    ---------------------------------
                2

  = -3 +/- sqrt(5 + 4 sqrt(y+1)) 
    ----------------------------
                2

如果sqrt(y+1)是完美的正方形z，则为整数，(5+4z)也是完美的正方形（如果z是整数，{{1} }是奇数，所以它的平方根，如果是一个整数，也是奇数，5-4z将是一个整数。）

因此，测试x是否为整数，然后测试z = sqrt(y+1)是否为完美正方形。

Answer 2

您只需要测试floor(y**(0.25)-1)。当y接近无穷大时，x接近y**0.25-1.5（从下面）。

在某种程度上，这是相当直观的。 x*(x+1)*(x+2)*(x+3)是四个数字的乘积，其平均值等于x+1.5。当x高时，1.5看起来很小。

Answer 3

对于很多数字，我们可以很容易地看出它们是否适合某个X：

Y必须可被3整除，因为至少有一个连续数字必须可以被3
Y必须可以被4整除，因为至少有一个连续的数字必须可以被4

所以Y必须至少能被12（3 * 4）整除。这意味着您可以轻松丢弃所有数字的92％。

由于Y的值至少包含X的4次幂，你可以从Y的第4个根（或者你用英语怎么称呼）开始，然后将其舍入为整数值，称之为X并计算X（X + 1）（X + 2）（X + 3）的结果。

结果可能会更高（因为我们省略了其他因素，如X为3的幂，X为2的幂，......）。

现在从X中减去1并执行相同的计算。

只要结果高于Y，重复此操作直到结果较低，或者您完全获得Y.

Answer 4

编辑：错误地阅读问题，但是考虑到它的价值（快速测试它是否不是四个连续整数的乘积）：

四个连续整数的任何乘积都是equal to one less而不是perfect square。

Answer 5

计算y的第四个根，将其向下舍入并将其称为a。 a(a-1)(a-2)(a-3)远小于y。计算y的第四个根，将其四舍五入，并将其称为b。 b(b+1)(b+2)(b+3)远远超过y。现在，您有三个可能的数字：a-2，a-1和a（注意a = b或a = b-1）。因此，检查(a-2)(a-1)a(a+1)，(a-1)a(a+1)(a+2)和a(a+1)(a+2)(a+3)就足够了。

Answer 6

我首先得到'y'的第四根。这将为您提供可以使用的y的最小因子（即'x'）的近似值。使用它作为标准因子分解算法的基础。

Answer 7

答案很简单。
对于给定数y，如果y + 1不是完美平方，则y不是四个连续数的乘积。如果y + 1是完美平方，那么y是四个连续数的乘积当且仅当sqrt（5 + 4 * sqrt（y + 1））是整数时。

Answer 8

您的等式可以简化为

y = x^4 + 6*x^3 + 11*x^2 + 6x

您可以从x = 1开始向上检查。我们可以注意到一个非常容易计算的上界：y的第4个根（或y的平方根的平方根）。这意味着，当您达到该数字时，您可以停止。这对你来说是幸运的，因为对我们来说幸运的是，第4根非常非常非常小。

对于高达10,000的数字，这很容易检查，因为你最多检查十个整数。如果你的号码低于500，你最多只需要检查四个整数。

在1,000,000+，你将不得不开始检查31个或更多的数字，所以它可能开始变得不那么琐碎了。

上限和下限

由于Wolfram Alpha经过一些细致的改进，已经完成了两件事：

更精确的上限y ^ 0.25 - 1.2
y ^ 0.25-1.5

所以...

y = num_to_check
k = Math.sqrt(Math.sqrt(y))   # or Math.pow(y,0.25)
lower = int(k-1.5)
upper = int(Math.ceil(k-1.2))
for n in (lower...upper)
  if n * (n+1) * (n+2) * (n+3) == y
    return n
  end
end
return nil

请注意，在这种情况下，对于任何给定的 y ，都要检查最多两个数字。

编辑：在将x精炼为仅整数之后，在所有情况下，只有一个数字可以检查，因为您的范围减少到一个数字。凉！（感谢Brian）

Answer 9

正如其他人所说，从y的第4个根开始（我们称之为z）。

在序列x，x + 1，... x + 3之外，我们知道某些值必须小于z，并且某些值必须大于z（因为它们不能都等于z）

所以，我们知道

x <= ceiling(z)
x+3 >= floor(z)

这为您提供了一个非常小的数字范围来尝试x。

找到与给定数字相加的四个连续数字

9 个答案:

上限和下限