Question

考虑m乘n矩阵M，其所有条目都是0或1.对于给定的M，问题是是否存在非零向量v，其所有条目都是-1,0或1，其中Mv = 0.例如，

      [0 1 1 1]
M_1 = [1 0 1 1]
      [1 1 0 1]

在这个例子中，没有这样的矢量v。

      [1 0 0 0]
M_2 = [0 1 0 0]
      [0 0 1 0]

在此示例中，向量（0,0,0,1）给出M_2v = 0。

给定m和n，我想找到是否存在这样的M，以便没有非零v，使得Mv = 0。

如果m = 3和n = 4，则答案为是，如上所示。

我目前正在通过尝试所有不同的M和v来解决这个问题。

但是，是否可以将问题表示为整数编程问题或约束编程问题，所以我可以使用现有的软件包，比如SCIP，可能更多高效。

Answer 1

这个问题可能比编程更具数学性。我还没有找到最终的答案，但至少有一些想法在这里：

我们可以通过以下方式重新陈述问题。

问题A：修复正整数m和n。设S为n维向量的集合，其条目为0或1。是否有m个n矩阵M，其条目为0或1，这样，对于任意两个不同的向量v_1和v_2 S中Mv_1，向量Mv_2和M不同。（或者，您可以这样说，矩阵n，被视为m的应用 - 维向量到S - 维向量，在集合(m, n)上是单射的。）

简而言之：给出M对，是否存在这样的内射Mv_1 = Mv_2？

问题A等同于原始问题。实际上，如果v_1对v_2中的两个S和M(v_1 - v_2) = 0 v_1 - v_2 0，那么我们会1，而- 1只会{ {1}}，m，n作为条目。反过来显然也是如此。

另一个重新解释是：

问题B：让S，n为正整数，0为1维向量的集合，其条目为m和{ {1}}。我们可以在r_1, ..., r_m中找到S向量v_1，这样，对于v_2中的任何一对不同向量S和r_i，都存在一个<v_1, r_i> != <v_2, r_i>，满足<x, y>？这里m是通常的内在产品。

简而言之：我们可以在S中选择S向量来区分M中的所有人，将内部产品与所选产品区分开来吗？

问题B等同于问题A，因为您可以在m中使用S向量识别矩阵(m, n)。

在下文中，我将自由地使用这两个问题的描述。

让我们调用n对＆＃34; 好对＆＃34;如果问题A（或B）的答案是是。

对于问题B的描述，很明显，对于给定的m，存在最小(m, n)，使得m(n)是一对好的。让我们为与m相关联的最小n撰写m。

同样，对于给定的n，有一个最大(m, n)，(m, n)是好的。这是因为，如果M是好的，即问题A中有一个内射n' <= n，那么对于任何n - n'，删除{{1}的任何M列将给出一个单独的M'。让我们为与n(m)相关联的最大n撰写m。

因此，任务变为计算函数m(n)和/或n(m)。

我们首先证明了几个引理：

引理1：我们有m(n + k) <= m(n) + m(k)。

证明：M m(n) n (m(n), n) {}} {}} K m(k) k (m(k), k) (m(n) + n(k)) (n + k) 1}}对[M 0] [0 K]的内射矩阵，然后(m(n) + 1, n + 1)到v_1矩阵

v_2

适用于(n + k)对。要查看此内容，请n和k为任意一对不同的m(n)维向量。我们可以将它们分成两部分：第一个m(k)条目和最后m(n)个条目。如果它们的第一部分不相等，则可以通过上述矩阵的第一m(n + 1) <= m(n) + 1行之一来区分它们;如果它们的第一部分是相等的，那么它们的第二部分必须是不同的，因此它们可以通过上述矩阵的最后m(n) <= n行之一来区分。

备注：序列k = 1因此是subadditive序列。

一个简单的推论：

推论2：我们m(n)，因此m(4) <= 3。

证明：在引理1中取m(4n) <= 3n。

请注意，从O(n)的其他已知值可以获得更好的上限。例如，由于我们知道m(n) >= n / log2(n + 1)，因此我们有T。无论如何，这些总是给你m(n)上限。

下一个引理会给你一个下限。

引理3：{0, 1, ..., n}。

证明：让m(n)成为n维向量的集合，其条目位于M。任何S到T矩阵v都会提供从Mv到M的地图，并将T发送到S。

由于存在T使得上述地图是单射的，因此集合(n + 1)^m的大小必须至少是集合S的大小。 2^n的尺寸为(n + 1)^m(n) >= 2^n，m(n) >= n / log2(n + 1)的尺寸为U，因此我们有：

n

或等效地，1。

返回编程

我不得不说我还没有想出一个好的算法。您可以将问题重新表述为Set Cover Problem，如下所示：

让0成为包含- 1，S或w条目的S维向量集合，让C_w如上所述。 U中的每个向量C_w = {v in U: <w, v> != 0}都提供了m w的子集C_w。问题是：我们是否可以找到U向量n = 10，以便子集{{1}}的并集等于{{1}}。

一般的封面问题是NP完整的，但在上面的Wiki链接中有一个整数线性程序公式。

无论如何，我认为这不会比{{1}}更进一步。

如果我有进一步的结果，我会继续编辑这个答案。

Answer 2

我认为使用布尔矩阵乘法将允许您解决Mv = 0问题，只有1＆amp; s＆amp; 0更有效率。使用这种方法，您应该能够解决，而不必担心由于RHS等于零而导致的排名缺陷。以下是使用BMM的一些算法的文档链接：

http://theory.stanford.edu/~virgi/cs367/lecture2.pdf

Answer 3

如果我理解了这个问题，那么如果存在矩阵M（线性变换），则需要给定的m，n，其具有平凡的核，即Ker（M）= {0}。

回想一下，这与M的Nullspace为零0，Null（M）= 0相同。

对于系统Mv = 0，如果矩阵M的秩等于v的维数，则零空间为{0}。所以你的问题归结为询问是否存在具有秩dim的mxn矩阵（v） =米。这种形式的问题已经在这里讨论了

Generate "random" matrix of certain rank over a fixed set of elements

您还可以根据决定因素来构建此问题，因为如果M具有determinant = 0，那么nullspace是非常重要的。因此，您可以根据{-1,0,1}中带有所需行列式的条目构建矩阵来考虑这个问题。

我希望这会有所帮助。

从昂贵的搜索到整数编程或约束编程？

3 个答案:

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