Question

考虑固定的m乘n矩阵M，其所有条目都是0或1.问题是是否存在非零向量v，其所有条目都是-1,0或1，其中Mv = 0。例如，

      [0 1 1 1]
M_1 = [1 0 1 1]
      [1 1 0 1]

在这个例子中，没有这样的矢量v。

      [1 0 0 0]
M_2 = [0 1 0 0]
      [0 0 1 0]

在此示例中，向量（0,0,0,1）给出M_2v = 0。

我目前正在通过尝试所有不同的向量来解决这个问题。

但是，是否可以将问题表示为整数编程问题或约束编程问题，所以我可以使用现有的软件包，比如SCIP，可能更多高效。

Answer 1

如果你也给出一个积极的例子，那将会有所帮助，而不只是一个消极的例子。

我可能在需求/定义中遗漏了一些东西，但这是在Constraint Programming（CP）系统MiniZinc（http://minizinc.org/）中进行的一种方式。它不使用CP系统特有的任何特定约束 - 除了函数语法之外，因此应该可以将其转换为其他CP或IP系统。

% dimensions
int: rows = 3;
int: cols = 4;
% the matrix
array[1..rows, 1..cols] of int: M = array2d(1..rows,1..cols, 
    [0, 1, 1, 1,
     1, 0, 1, 1,
     1, 1, 0, 1,
     ] );

 % function for matrix multiplication: res = matrix x vec 
 function array[int] of var int: matrix_mult(array[int,int] of var int: m, 
                                             array[int] of var int: v) =
    let {
       array[index_set_2of2(m)] of var int: res; % result
       constraint
       forall(i in index_set_1of2(m)) (
           res[i] = sum(j in index_set_2of2(m)) (
               m[i,j]*v[j]
           )
       )
     ;
    } in res; % return value

   solve satisfy;
   constraint
       % M x v = 0
       matrix_mult(M, v) = [0 | j in 1..cols] /\
       sum(i in 1..cols) (abs(v[i])) != 0 % non-zero vector
   ;
   output 
   [
       "v: ", show(v), "\n",
       "M: ", 
   ]
   ++
   [
     if j = 1 then "\n" else " " endif ++
       show(M[i,j])
     | i in 1..rows, j in 1..cols
   ];

通过改变＆＃34; M＆＃34;的定义使用域0..1而不是常量的决策变量：

  array[1..rows, 1..cols] of var 0..1: M;

然后，该模型产生18066种不同的解决方案，例如这两种：

  v: [-1, 1, 1, 1]
  M: 
   1 0 0 1
   1 1 0 0
   1 0 0 1
  ----------
  v: [-1, 1, 1, 1]
  M: 
  0 0 0 0
  1 0 1 0
  1 0 0 1

注意：生成所有解决方案在CP系统中可能比传统MIP系统更常见（这是我非常欣赏的功能）。

可以使用整数编程或约束编程来表达吗？

1 个答案: