Question

我在单位球体的表面上有一个3D点阵列，以及一个中心点C（也在单位球体的表面上）。如何对这些点进行排序，使它们相对于表面按顺时针顺序排列？

Answer 1

稍晚一些，但是您可以计算法线，然后查看它们是否沿着法线轴围绕法线或曲面的任何单个点沿顺时针方向或逆时针方向求平均。第二种方法可以减少一个点，但基本相同。

计算表面的中心点（坐标的总和除以坐标的计数）；
从表面点减去中心点；
通过表面法线旋转表面点； **您现在只处理2轴，因为z始终为零；
求和相对角（（（1,2）中i的求和（atan（p [i]-p [0]）））
如果为正，则为顺时针。

一些代码...

from math import sqrt, atan2, pi
twopi = 2 * pi
dists = lambda s: sqrt(sum(c*c for c in s))

import numpy as np
trans_y_mat = lambda dx, dz: np.array(((dz,0,dx),(0,1,0),(-dx,0,dz)) \
    , dtype=np.float64)


def p3d_normal(p3d):
  Ux, Uy, Uz = (p3d[1][i] - p3d[0][i] for i in (0,1,2))
  Vx, Vy, Vz = (p3d[2][i] - p3d[0][i] for i in (0,1,2))
  N = (Uy*Vz - Uz*Vy, Uz*Vx - Ux*Vz, Ux*Vy - Uy*Vx)
  d = dists(N)
  return tuple(c / d for c in N)


def p3d_is_clockwise(p3d, p3n=None):
  if p3n is None: p3n = p3d_normal(p3d)
  dnx, dnz = p3n[0]/p3n[1], p3n[2]/p3n[1]
  dn = dists((dnz, dnx))
  mn = trans_y_mat(dnz/dn, dnx/dn)
  p2d = np.matmul(mn, p3d)[:,:2]
  asum = 0.0
  xp,yp = p2d[0]
  ap = 0.0
  for (xn,yn) in p2d[1:]:
    an = atan2(yn-yp, xn-xp)
    asum += (an - ap + pi) % twopi - pi
    xp, yp, an = xn, yp, ap
  return asum >= 0


faces = (((0.0, 0.0, 100.0), (30.9017, 0.0, 95.1057), (15.4508, 26.7617, 95.1057)) \
    , ((0.0, 0.0, 100.0), (15.4508, 26.7617, 95.1057), (-15.4508, 26.7617, 95.1057)) \
    , ((0.0, 0.0, 100.0), (-15.4508, 26.7617, 95.1057), (-30.9017, 0.0, 95.1057)) \
    , ((0.0, 0.0, 100.0), (-30.9017, 0.0, 95.1057), (-15.4508, -26.7617, 95.1057)) \
    , ((0.0, 0.0, 100.0), (-15.4508, -26.7617, 95.1057), (15.4508, -26.7617, 95.1057)) \
    , ((0.0, 0.0, 100.0), (15.4508, -26.7617, 95.1057), (30.9017, -0.0, 95.1057)) \
    , ((30.9017, 0.0, 95.1057), (50.9037, 29.3893, 80.9017), (58.7785, 0.0, 80.9017)) \
    , ((30.9017, 0.0, 95.1057), (15.4508, 26.7617, 95.1057), (50.9037, 29.3893, 80.9017)) \
    , ((15.4508, 26.7617, 95.1057), (29.3893, 50.9037, 80.9017), (50.9037, 29.3893, 80.9017)) \
    , ((15.4508, 26.7617, 95.1057), (0.0, 58.7785, 80.9017), (29.3893, 50.9037, 80.9017)))

for face in faces:
  print(p3d_is_clockwise(face))

输出：

False
False
True
False
False
False
False
False
True
True

Answer 2

这个问题最好放在 http://math.stackexchange.com 或 https://mathoverflow.net/ 上，因为它更多地涉及线性代数而不是如何编码。

无论如何，这是我为将点排序为凸球面多边形所做的工作。可能会有非凸多边形会分解的情况，但我没有检查，因为我正在使用凸多边形专门用于我需要做的事情。因此，这是一个不完整的答案，但希望对其他人有用。这提供了比 Good Luck 建议的更好的解决方案，因为它可以处理围绕极点或穿过反子午线的点。

一些假设：我正在研究一个单位球体，其中所有感兴趣的点都可以被认为是来自原点的向量，也代表了凸球面多边形的顶点。此外，由于这组点可以描述两个潜在的球面多边形，我假设较小的就是我们所追求的那个。有 N 个感兴趣的点/顶点保存在 Nx3 数组中（因此每个向量 v[0,:], v[1,:], ... v[N-1,:] 用 (x,y,z) 坐标定义并且范数为 1。关于user3235832 的问题，我假设感兴趣的轴在多边形内的某处。

步骤 1： 选择位于多边形内某处的位置 v_c。我只是将我的分数的平均值归一化。标准化确保它也在球体上。对于非凸多边形，可能需要做一些更稳健的事情来确保点位于多边形内部。

第 2 步： 任意使用第一个点作为锚点，找到该点、我们的中心位置和其他每个顶点之间的内角。内角也是包含每个边的大圆的两个平面之间的角度。所以那会是这样的

import numpy as np
alpha = np.zeros(N-1) # initialize array
for i in range(1,N):
   alpha[i-1] = np.arccos(np.dot(np.cross(v[0], v_c),np.cross(v_c, v[i])))

然而，这可能会给出错误的 arccos 值（例如 pi/3 而不是 2pi - pi/3），因此有必要检查我们是否在这里获得了正确的角度。为此，我使用建议的方法 here：

检查角度是顺时针还是逆时针

import numpy as np
def is_ccw(v_0,v_c,v_i):
    # checks if the smaller interior angle for the great circles connecting u-v and v-w is CCW
    return(np.dot(np.cross(v_c - v_0,v_i - v_c), v_i) < 0)

如果角度不是 CCW，则需要对其进行校正，即 alpha = 2 * np.pi - alpha。

第 3 步：从 v_1 按角度对点进行排序。

按顺时针顺序对球体表面上的3D点进行排序

2 个答案: