不动点理论和isGoodEnough函数

Question

在Coursera课程Functional Programming Principles in Scala中，讲师讨论了Fixed Point，并写了一些简单的实现。

def isCloseEnough(x: Double, y: Double) = 
    math.abs((x - y) / x) / x < tolerance

def fixedPoint(f: Double => Double)(guess: Double) = {

    def iterate(guess: Double): Double = {
        val next = f(guess)
        if (isCloseEnough(guess, next)) next
        else iterate(next)
    }
    iterate(guess)
}   

这样的实现将允许以下函数f(x) = 1 + x具有固定点。

然而，这不应该永远不会发生。 如在此函数图中：

这就是维基百科所说的：

  

并非所有函数都有固定点：例如，如果f是函数   在实数上定义为f（x）= x + 1，那么它没有固定的   点，因为对于任何实数，x永远不等于x + 1。

这里的重点在于isCloseEnough，我不知道为什么会这样写。

我在这里了解isCloseEnough及其实施方式 这就是全部。

Answer 1

该算法并不完美，显然取决于您对容差的选择。如果我们检查isCloseEnough：

def isCloseEnough(x: Double, y: Double) = 
    math.abs((x - y) / x) / x < tolerance

它非常类似于：

| x - y | / x^2 < tolerance

除了由于某种原因它没有取x的外部分区的绝对值，这在x为负时完全打破了算法。

我们的想法是，我们通过找到任意关闭到x的{​​{1}}找到一个固定点，即f(x)和x之间的差异f(x)尽可能小（低于一些容差）。如果我们能够快速找到固定点，这种方法很好：

scala> fixedPoint(math.sqrt)(2)
res2: Double = 1.0000846162726942

此处，固定点为x = 1，其中math.sqrt(1) = 1。我用了tolerance = 0.0001。如果我使用较小的东西，我显然会更接近固定点1。

但现在说我有：

def f(x: Double): Double = x + 1

scala> fixedPoint(f)(1)
res4: Double = 102.0

找到大约102.0的固定点。显然，这是错误的，但这是因为x和f(x)之间的差异总是 1这个函数，并且x得到更大，1 / x^2越来越小，直到它低于tolerance。如果我让tolerance更小，我会找到一个更大的固定点。

val tolerance = 0.000000001

scala> fixedPoint(f)(1)
res5: Double = 31624.0

这显然也是错误的。但问题是，对于某些固定点，我应该能够使tolerance 任意小，并且仍能获得一致的结果。使用此功能，很明显，对于任何固定的tolerance，最终1 / x^2将小于它。 但是，对于任何x，我总是可以选择足够小的tolerance，以便1 / x^2总是落在它之外，所以没有固定点。

这不是一个数学证明，但重点是该算法存在某些标准的缺陷。