Question

我使用简单的回溯算法来查找所有路径，但它没有给出正确的答案。我无法弄清楚错误。我们可以从给定的位置向上，向下，向左和向右移动。

    Int path(int a[][200],int n,int m,int r,int c) 
    {
        if(n == r - 1 && m == c-1) {
            return 1;
        }
        else if(n >= r || m >= c || n < 0 || m < 0) {
            return 0;
        }
        else if(vis[n][m] == 1) {
            return 0;
        }
        else {
            vis[n][m] = 1;
            int x = path(a,n+1,m,r,c);
            int y = path(a,n,m+1,r,c);
            int u = path(a,n-1,m,r,c);
            int v = path(a,n,m-1,r,c);
            vis[n][m] = 0;
            return (x+y+u+v);
        }
}

Answer 1

要找到路径或计算路径并不完全相同。我假设您只想计算路径（因为问题的标题），并且您只能向右移动或向下移动。

为此，您并不需要矩阵（表示网格）作为参数。以下是一个简单的（虽然效率不高）递归解决方案，也适用于n * m网格：

int countPaths(int m, int n) {
    if (m == 0 || n == 0)
        return 1;

    return countPaths(m-1, n) + countPaths(m, n-1); 
}

一般n * n网格的数学解法是：

(2n choose n) = (2*n)!/(n!*n!)

然后，将结果与公式进行比较：

countPaths(1, 1) == 2   // (2*1)!/(1!*1!)=2

countPaths(2, 2) == 6   // (2*2)!/(2!*2!)=6

countPaths(3, 3) == 20  // (2*3)!/(3!*3!)=20

您的回溯方法会给出相同的结果，但需要考虑一些因素。例如，考虑何时n=2，您将需要一个3x3矩阵（通常为(n+1)x(n+1)矩阵）来表示/探索（并标记为1）2x2网格的所有路径：

int countPaths(int a[][3],int n, int m, int r, int c) {
        if(n == r-1 && m == c-1) {
            return 1;
        }
        else if(n >= r || m >= c || n < 0 || m < 0) {
            return 0;
        }
        else if(vis[n][m] == 1) {
            return 0;
        }
        else {
            vis[n][m] = 1;
            int x = countPaths(a,n+1,m,r,c);
            int y = countPaths(a,n,m+1,r,c);
            vis[n][m] = 0;
            return (x+y);
        }
}

然后：

countPaths(vis, 0, 0, 3, 3) == 6  // (2*2)!/(2!*2!)=6

计算n * n网格中从（0,0）到（n-1，n-1）的总路径

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