Question

我有一个这样的图表：

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我实现了这样的图形数组：

G[i][j][k]

K只有4个单元格，它显示顶点是否连接到其四个相邻顶点。例如：

G[1][1][0] = 0 
G[1][1][1] = 1 
G[1][1][2] = 1 
G[1][1][3] = 0

它表明顶点（1,1）连接到2个顶点。

我知道普通类型图表的Floyd Warshall算法。 但是如何为这种图形实现Flyod Warshall算法？

感谢。

Answer 1

您的图表表示基本上是adjacency list，对于每个顶点v= G[i][j]，您有一个包含图表所连接边的列表。在您的情况下，列表由4个布尔值组成 - 每个都指示(i,j)是否连接到(i-1,j),(i+1,j),(i,j-1),(i,j+1)，因此使用Floyd-Warshall算法具有这种理解非常简单，如果查看wikipedia pseudo code：

1 let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity)
2 for each vertex v
3    dist[v][v] ← 0
4 for each edge (u,v)
5    dist[u][v] ← w(u,v)  // the weight of the edge (u,v)
6 for k from 1 to |V|
7    for i from 1 to |V|
8       for j from 1 to |V|
9          if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j] 
10             dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j]
11         end if

主要区别在于第4-5行，其中：

for each edge(u,v):

实际上是

for each x=0,1,...,n-1
   for each y=0,1,...,m-1
       for each i=0,1,2,3:
             //if G[x][y][y] == 1 : it's an edge

另请注意，在图表中，最大分支因子（连接到节点的边数）为4.这意味着，图表中的最大边数为|E| <= 4|V|。由于您的图表不是定向的，因此通过从每个节点执行BFS可以更有效地找到所有到最短的路径，这将花费O(|V|*(|E|+|V|))时间，但是从{|E| <= 4|V|开始1}}，这是O(|V|^2) - 与在O(|V|^3)中运行的Floyd-Warshall相比。

Answer 2

对于这样的稀疏图，Floyd-Warshall算法效率非常低。该图是稀疏的，因为每个顶点连接到不超过4个其他顶点。在密集图中，顶点可以连接到最多N-1个其他顶点，其中N是图中顶点的数量。这就是Floyd-Warshall算法效率或多或少的地方，但是，如果你不需要每对顶点之间的最短路径或找到负长度周期，考虑使用优先级队列来寻找源和之间的最短路径。所有其他顶点：https://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra's_algorithm#Using_a_priority_queue。如果图表中的权重对于每个边缘都是相等的（未加权图形），甚至可以使用广度优先搜索。

如果你仍然希望你的网格使用Floyd-Warshall算法，那么它就是。考虑网格为N M，基于1的索引，以便网格中的最大条目为G[N][M][...]。然后Floyd-Warshall算法将是：

// edge offsets
const int offs[4][2] = {
    {-1, 0}, {0, 1}, {1, 0}, {0, -1}
};
const int INF_DIST = 1e9;
int D[N+1][M+1][N+1][M+1];
//// Initialize weights to infinity
// For each source row and column (i,j)
for(int i=1; i<=N; i++) {
    for(int j=1; j<=M; j++) {
        // For each destination row and column (k,l)
        for(int k=1; k<=N; k++) {
            for(int l=1; l<=M; l++) {
                D[i][j][k][l] = INF_DIST;
            }
        }
    }
}
//// Mark edges of the graph
// For each row
for(int i=1; i<=N; i++) {
    // For each column
    for(int j=1; j<=M; j++) {
        // For each of the directions: up(k=0), right(k=1), down(k=2) and left(k=3)
        for(int k=0; k<=3; k++) {
            if(G[i][j][k] == 0) {
                // Don't add this edge to the distance matrix
                //   if the edge is not in the grid graph
                continue;
            }
            // Calculate (r, c) as the coordinates of the vertex one step 
            //   in the direction k
            int r = i + offs[k][0];
            int c = j + offs[k][1];
            if(1<=r && r <= N && 1<=c && c<=M) {
                // Only add the edge (if exists) in case (r, c) is within the grid
                D[i][j][r][c] = G[i][j][k];
            }
        }
    }
}
//// Find shortest paths between each pair of vertices
// For each intermediate vertex (k,l)
for(k=1; k<=N; k++) {
    for(l=1; l<=M; l++) {
        // For each source vertex (i,j)
        for(int i=1; i<=N; i++) {
            for(int j=1; j<=M; j++) {
                // For each destination vertex (r,c)
                for(int r=1; r<=N; r++) {
                    for(int c=1; c<=M; c++) {
                        // Apply the triangle rule
                        int alternative = D[i][j][k][l] + D[k][l][r][c];
                        if(alternative < D[i][j][r][c]) {
                            D[i][j][r][c] = alternative;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
}

Floyd Warshall算法用于平面网格图

2 个答案: