Question

我已经阅读了这个问题：Which is the fastest algorithm to find prime numbers?，但我只想对2和5素数这样做。

例如，数字42000被分解为：

2 ⁴ •3 ¹• 5 ³ •7 ¹

我只对在此示例中找到2和5：4和3的权力感兴趣。

我天真的方法是先后除以2，其余为0，然后相继除以5，其余为0。

成功分裂的数量（零余数）是2和5的幂。

这涉及执行(x + y + 2)分区，其中x是2的幂，y是5的幂。

是否有更快的算法来查找2和5的幂？

Answer 1

在谈话之后，我认为你的想法是最快的方式，但有一个例外：

分部（在大多数情况下）很贵。另一方面，检查数字的最后一位数（通常是？）会更快，所以我会在分割之前检查最后一位数字（0/5和0/2/4/6/8）。

Answer 2

我的基础是OP：

我的库是用PHP编写的，数字实际上是作为字符串存储在基数10中的。这确实不是最有效的，但这是在语言的技术限制内最有效的。

如果你致力于php-in-php，那么与实际的通用重复模数和除法相比，下面的伪代码将加快速度：

while the string ends in 0, but is not 0
  chop a zero off the end,
  increment ctr2 and ctr5
switch repeatedly depending on the last digit:
  if it is a 5,
     divide it by 5
     increment ctr5
  if it is 2, 4, 6, 8,
     divide it by 2
     increment ctr2
  otherwise
     you have finished

这不需要任何模数运算，并且您可以比通用长数除法更便宜地实现5分频和2分频。

另一方面，如果你想要表现，使用无限大小整数的字符串表示就是自杀。使用 gmp （其中包含php library）进行数学运算，并仅在必要时转换为字符串。

修改

使用以下伪代码可以获得额外的效率（并简化操作）：

if the string is zero, terminate early while the last non-zero character of the string is a '5', add the string to itself decrement ctr2 count the '0's at the end of the string into a ctr0 chop off ctr0 zeros from the string ctr2 += ctr0 ctr5 += ctr0 while the last digit is 2, 4, 6, 8 divide the string by 2 increment ctr2

一次砍掉多个0比循环更好。并且mul2在速度方面胜过div5（可以通过添加一次数来实现）。

Answer 3

我认为你的算法将是最快的。但我有几点建议。

一种替代方案是基于最大公约数。取输入数字的gcd，最小功率2大于输入数字;这将给你所有的因素2.除以gcd，然后用5重复相同的操作;这将给你所有因素5.再次除以gcd，其余部分告诉你是否还有其他因素。

另一种选择是基于二分搜索。将输入数字的二进制表示分成两半;如果右半边是0，向左移动，否则向右移动。一旦你有2的因子，除法，然后使用5的幂来对剩余部分应用相同的算法。

我会留给您实施和计算这些算法的时间。但我的直觉是重复分裂将很难被击败。

我刚刚读到你的评论，你的输入数字存储在基数10中。在这种情况下，只要余数为0，重复除以10;给出2和5的因子。然后将算法应用于减少的数字。

Answer 4

如果您有十亿位数字，除非确实需要，否则您不希望对其进行分割。如果你没有理由相信它在1 ^ 2 ^ 1000的数字中可以被2 ^ 1000整除，那么使用更快的测试只看最后几位是有意义的。您可以通过查看最后一位数字来判断一个数字是否可以被2整除，通过查看最后两位数字是否可以被4整除，通过查看最后n位数字可以看出2 ^ n。类似地，您可以通过查看最后一位数字来判断一个数字是否可被5整除，通过查看最后两位数字是否可以被25整除，通过查看最后n位数字可以将其除数为5 ^ n。

我建议您首先计算并删除尾随的0，然后从最后一位开始判断您是否正在测试2的幂（最后一个数字2,4,6或8）或5的幂（最后一个数字5）。

如果您正在测试2的幂，那么取最后的2个，4个，8个，16个...... 2 ^ i个数字，并将其乘以25,625，... 5 ^ 2 ^ i，计数尾随0到2 ^ i（但不超过）。如果你得到少于2 ^ i尾随0，那么停止。

如果您正在测试5的幂，那么取最后的2个，4个，8个，16个...... 2 ^ i个数字，并将其乘以4,16，...... 2 ^ 2 ^ i，计数尾随0到2 ^ i（但不超过）。如果少于2 ^ i尾随0，则停止。

例如，假设您分析的数字是283,795,456。乘以56乘25，你得到1400，其中有2个尾随0，继续。乘以5,456乘625，得到3,410,000，其中有4个尾随0，继续。乘以83,795,456乘以5 ^ 8 = 390,625，得到32,732,600,000,000，其中有8个尾随0，继续。乘以283,795,456乘以5 ^ 16得到43,303,750,000,000,000,000，其中只有13个尾随0。那个小于16，所以停止，素数因子化中2的幂是2 ^ 13。

我希望对于更大的乘法，你实现了一个n log n算法来乘以n位数，但即使你不是，这种技术应该胜过任何涉及典型大数的除法。

假设每个n位数字具有相同的可能性，让我们看一下各种算法的平均时间复杂度。

两个n位数的加或减需要θ（n）步。

将n位数除以5之类的小数字需要theta（n）步。除以基数是O（1）。

将n位数除以另一个大数，使用FFT得到theta（n log n）步，或者通过朴素算法得到theta（n ^ 2）。乘法也是如此。

将基数10重复除以2的算法具有 theta（n）的平均病例时间复杂度：第一次除法需要theta（n）时间，平均而言，只需做O（1）分裂。

计算具有至少n位数的2的大功率通过重复平方获得theta（n log n），或通过简单乘法获得theta（n ^ 2）。执行Euclid算法来计算GCD需要采用θ（n）步的平均值。虽然划分采用theta（n log n）时间，但大多数步骤可以作为重复减法完成，并且只需要花费n（n）时间来完成这些步骤。以这种方式执行Euclid算法需要O（n ^ 2 log log n）。其他改进可能会将其降低到 theta（n ^ 2）。

在执行更昂贵的计算之前，将最后一位数字的可除性检查为2或5是好的，但这只会导致因子不断改进。在此之后应用原始算法仍然需要平均 theta（n）步骤。

通过2 ^ d或5 ^ d检查可分割性的最后d个数字需要O（d ^ 2）时间，O（d log d）和FFT。当d很小时，我们很可能只需要这样做。可被2 ^ d整除的n位数的分数是1/2 ^ d。因此，在这些检查上花费的平均时间是O（sum（d ^ 2/2 ^ d）），并且该和与n无关，因此平均需要 theta（1）时间。当您使用最后一位数字来检查可分性时，通常不必对接近n位的数字进行任何操作。

查找2和5因子的最快算法

4 个答案: