给定值N，如果我们想要改变N美分，并且我们每个S = {S1，S2，..，Sm}值的硬币都有无限供应，我们可以通过多少方式进行更改？硬币的顺序无关紧要。
例如，对于N = 4和S = {1,2,3}，有四个解：{1,1,1,1}，{1,1,2}，{2,2}， {1,3}。因此输出应为4.对于N = 10且S = {2,5,3,6}，有五种解决方案：{2,2,2,2,2}，{2,2,3,3}， {2,2,6}，{2,3,5}和{5,5}。所以输出应该是5。
现在，我有一个疑问。为什么我们不能做类似的事情，
arr[i] = arr[i-1] + arr[i-2] + arr[i-3]
基本上，arr[i]存储了总和i的方法数。我在这里给出的方法有点类似于n stairs problem，我可以爬上一定数量的楼梯，也就是说，让我们一次说1个楼梯或者一次2个楼梯，我必须计算从底部到达顶部的总方式。为什么我们不能在这个问题中使用类似的方法？
答案 0 :(得分：4)
为什么我们不能在这个问题中使用类似的方法？
它不会起作用，因为在n阶梯问题中，顺序很重要。对于例如如果你爬5级楼梯，{1,2,1,1}被计为与{1,1,2,1}不同。
然而，在制作更改问题中，只有每个硬币的总计数，而不是你添加的顺序，所以如果你赚5美元，{$ 1，$ 2，$ 1，$ 1}与{$ 1，$ 1相同， 2美元，1美元。因此，简单的记忆方法不起作用，你需要存储所有可能的方法来达到arr [i]，而不仅仅是总数。
例如，假设你试图用$ 1和$ 2赚6美元。您不能仅仅为赚取5美元的方式添加4美元的方式，因为（例如）4美元的一种方式是{$ 1，$ 1，$ 2}（你可以加2美元）要赚6美元即{$ 1，$ 1，$ 2，$ 2}），其中一种赚5美元的方式是{$ 1，$ 2，$ 2}（你可以加1美元赚6美元{$ 1，$ 2，$ 2，$ 1 }）。
但{$ 1，$ 2，$ 2，$ 1}和{$ 1，$ 1，$ 2，$ 2}不应单独计算。
答案 1 :(得分：3)
Samgak的回答解释了如何使改变与攀爬楼梯一步一步或两步不同：订单对于进行更改并不重要，但是当您爬楼梯时，订单很重要。
您可以使用动态编程来解决问题，但需要更复杂的状态。让a[i][j]成为使用硬币的前j个面额来改变i单位货币的方法的数量。因此，对于i大于0，a[0][0]=1，a[i][0] = 0，对于大于0的j，a[i][j] = a[i][j-1] + a[i-Sj][j-1] + a[i-2*Sj][j-1]+...