找到生成数字的方法的数量

Question

我是排他性和组合的新手。我提供了数字n，我可以在n + 1位数的帮助下得到一个数字，它是0,1，... n。我需要通过在n个位置放置这些n + 1个数字来找到我可以通过多少种方式来计算总和。

Like i am having number n=2
 then 
(a) 0 and 2 (b)1 and 1 (c)2 and 0 . 
for a number n=3
 then 
(a)0,0,3 (b)0,3,0 (c)3,0,0 (d)0,1,2 (e)0,2,1 (f)1,0,2 (g)1,2,0 (h)2,0,1 (i)2,1,0 (j)1,1,1
So  in total i have 10 ways to generate sum=3 by using the digits 0,1,2,3.

并且还考虑我可以将这些n + 1位数仅放在n个位置。

Answer 1

n到k非负加数的组合数是（n + k-1），由stars-and-bars method选择n。你有k = n，所以计数是2n-1选择n。您的示例是3C2 = 3和5C3 = 10.

Answer 2

是的，使用n + 1位数求和= n的总方式数等于^{（n + n-1）} C _{（ n-1）}或者你可以说^{（n + n-1）} C _（n）。