寻找一种特定的数值积分算法

Question

考虑以下微分方程
f(x) = g'(x)
我有一个代码，用于为变量f(x)吐出函数x的值，其中x从0变为very large。

现在，我正在寻找一种方案来分析f(x)的这些值，以确定g(x)。有人有什么建议吗？主要的问题是，如果我计算g(x) = Integral (f(x) * dx)，那么我最终只得到一个数字（即图下面的区域），但我需要知道g(x)的实际功能。 / p>

我在这里交叉发布了这个问题：https://math.stackexchange.com/questions/1326854/looking-for-a-particular-algorithm-for-numerical-integration

Answer 1

1. 数值积分总是只返回一个数字

   • 如果你不想要数字而是功能
   • 然后您无法使用数字集成执行此任务直接

2. 多项式方法

   • 您可以使用任何近似/插值技术来获得表示f(x)
   的多项式
   • 然后整合为标准多项式（只是改变指数和乘法常数）
   • 这不适合超越，期刊或复杂形状的功能
   • 最常见的方法是使用L＆＃39; Grange或Taylor系列
   • 两者都需要一个能够为任何给定f(x)返回x值的解析器

3. 代数整合

   • 这对任何f(x)都无法解决，因为我们不知道如何整合所有内容
   • 因此您需要编制所有集成规则
   • 喜欢单身，替换，Z或L＆＃39;地点转换
   • 并在字符串/符号范例中编写解算器
   • 大量工作
   • 可能有libs或dll可以做到这一点
   • 来自Derive或Matlab等程序......

[edit1]因为函数f(x)只是一个表格

• double f[][2]={ x1,f(x1),x2,f(x2),...xn,f(xn) };
• 您可以间隔g(x)=Integral(f(x))
为<0,x>创建相同的表格

• 所以：

  g(x1)=f(x1)*(x1-0)
  g(x2)=f(x1)*(x1-0)+f(x2)*(x2-x1)
  g(x3)=f(x1)*(x1-0)+f(x2)*(x2-x1)+f(x3)*(x3-x2)
  ...
  

• 这只是一个表，所以如果你想要实际功能，你需要通过L＆＃39; Grange或任何其他插值将其转换为多项式...

• 你也可以使用DFFT和作为sin-wave集合的功能