为什么弗洛伊德warshall只使用一个距离矩阵？

Question

我读了floyd warshall算法的伪代码 1 let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity) 2 for each vertex v 3 dist[v][v] ← 0 4 for each edge (u,v) 5 dist[u][v] ← w(u,v) // the weight of the edge (u,v) 6 for k from 1 to |V| 7 for i from 1 to |V| 8 for j from 1 to |V| 9 if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j] 10 dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j] 11 end if 但它只使用一个dist矩阵来节省距离。 我认为应该有n个dist矩阵，其中n是顶点的数量， 或者至少我们需要两个dist矩阵。 一个存储当前最短路径在顶点k-1， 另一个存储顶点k内的最短路径， 然后第一个存储k + 1内的最短路径， .... 如何在顶点k-1内的距离内将原始矩阵中的最短路径距离存储起来？

这张照片显示我们需要D0，D1，D2 ...... D（n）

Answer 1

你在这里部分正确。

Floyd Warshall算法的输出（即NxN矩阵）DOESN＆＃39; T有助于重建任意两个给定顶点之间的实际最短路径。

如果我们保留父矩阵P，则可以恢复这些路径，以便它存储用于每个顶点对（x，y）的最后一个中间顶点。说这个值是k。

从x到y的最短路径是从x到k的最短路径与从k到y的最短路径的串联，可以在给定矩阵P的情况下递归地重建。

但请注意，大多数全对应用程序只需要生成的距离矩阵。这些作业是Floyd算法的设计目标。

Answer 2

您是正确的，因为原始公式要求步骤k的计算需要使用步骤k-1的计算：

如果您说第一矩阵用于存储步骤k-1的值，第二矩阵用于存储k的值，而第一个矩阵又用于存储值，则可以轻松组织来自k+1等

但是，如果我们在更新值时使用相同的矩阵，则在上式中，如果索引i,k的值在更新过程中已被更新，则可能会意外地使用而不是。当前一轮k，或者如果索引k,j的值已更新，我们可能会得到而不是。因为我们使用了错误的递归更新公式，这不会违反算法吗？

嗯，不是真的。请记住，Floyd-Warshall算法处理“无负循环”约束，这意味着不存在边的总和为负值的循环。这意味着对于任何k，从节点k到节点k的最短路径是0（否则，这意味着从k到路径{ k，边的总和为负值）。因此，根据定义：

现在，让我们采用第一个公式，并将j替换为k：

然后将相同的公式'i'替换为'k'：

因此，基本上，与的值相同，而与的值相同，因此这些值是否真正无关紧要值在周期“ k”期间是否更新，因此您可以在读取矩阵时更新同一矩阵而不会破坏算法。