我有一套前25 Zernike polynomials。以下是Cartesin坐标系统中的一些内容。
z2 = 2*x
z3 = 2*y
z4 = sqrt(3)*(2*x^2+2*y^2-1)
z24 = sqrt(14)*(15*(x^2+y^2)^2-20*(x^2+y^2)+6)*(x^2-y^2)
我没有使用1st，因为它是活塞;所以我在X-Y笛卡尔坐标系统中表达了这24个双暗分析函数。所有都是在单位圆上定义的，因为它们在单位圆上是正交的。我在这里描述的问题与除了Zernike多项式之外的其他2D表面有关。
假设XY坐标系的原点（0,0）和单位圆的中心相同。
接下来，我采用这24个多项式的线性组合来构建2D波前形状。我在这个组合中使用了24个随机输入系数。
w(x,y) = sum_over_i a_i*z_i (i=2,3,4,....24)
a_i = random coefficients
z_i = zernike polynomials
到目前为止，一切都是分析部分，可以在纸上完成。
现在是离散化了！
我知道当你想重新构建一个信号（1Dim / 2Dim）时，你的采样频率至少应该是信号中存在的最大频率的两倍（Nyquist-Shanon原理）。
这里的信号是如上所述的w（x，y），它只不过是简单的2Dim x＆amp;的功能年。我想现在在电脑上代表它。显然，我不能沿x轴从-1到+1获取所有无限点，对于y轴也是如此。 我必须采取有限的否定。在该分析2Dim表面上的数据点（其被称为样本点或仅仅是样本）w（x，y）
我在测量x＆amp; y，以米为单位，-1＆lt; = x＆lt; = +1; -1＆lt; = y＆lt; = +1。
e.g。如果我将x轴从-1分为1，则在50个采样点中，则dx = 2/50 = 0.04米。 y轴相同。现在我的采样频率是1 / dx，即每米25个样本。 y轴相同。
但我随意抽取了50个样本;我本可以拍摄10个样本或1000个样本。这就是问题的症结所在：有多少样本点？我如何确定这个数字？
上面提到的一个定理（Nyquist-Shanon定理）说如果我想忠实地重构w（x，y），我必须在两个轴上对它进行采样，以便我的采样频率（即没有。每米的样本数至少是w（x，y）中存在的最大频率的两倍。这只是找到w（x，y）的功率谱。想法是空间域中的任何函数也可以在空间 - 频率域中表示，这只不过是对函数进行傅立叶变换！这告诉我们函数w（x，y）中存在多少（空间）频率，以及这些频率中的最大频率是多少。
现在我的问题首先是如何在我的情况下找出这个最大采样频率。我不能使用MATLAB fft2（）或任何其他工具，因为它意味着我已经在波前采样！显然剩下的选择是分析找到它！但这是耗时且困难的，因为我有24个多项式＆amp;我将不得不使用随后的连续傅里叶变换，即我将不得不去笔和纸。
任何帮助将不胜感激。
由于
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关键假设
显然剩下的选择是分析找到它！但那是时候了 消耗和困难，因为我有21个多项式＆amp;我必须使用 连续傅立叶变换，即通过分析完成。
假设我已经做出（并注意到其他数学技术的考虑是out of scope for StackOverflow），我们别无选择，只能计算连续傅里叶变换。
但是，我认为你没有考虑过计算变换的所有选项，而不是费力的纸上练习，例如。
当然，傅立叶变换的数值近似对于您的解决方案是否足够？
我认为这是用于课程作业或研究而已，所以你作为一名物理学家真正关心的是一个解决方案，它是最快解决方案，在您的问题范围内准确
总而言之，恕我直言，不要浪费时间寻找更加数学上优雅的解决方案或技巧，只需用上述方法之一解决问题