Question

所以我必须以随机顺序将N个元素插入到一个size-N数组中，但我不确定该程序的时间复杂度

该计划基本上是：

for (i = 0 -> n-1){
    index = random (0, n); (n is exclusive)
    while (array[index] != null)
         index = random (0, n);
    array[index] = n
 }

这是我的假设：N个数字的正常插入当然是严格的N，但随机位置的碰撞会花费多少成本？对于每个n，其碰撞率增加如0,1 / n，2 / n .... n-1 / n，因此预期的插入尝试次数将为1,2,3 ... n-1，这是O （n），总时间复杂度为O（n ^ 2），这是平均成本吗？但哇这真的很糟糕，我是对的吗？

那么，如果我进行线性搜索而不是继续尝试生成随机数，会发生什么？最糟糕的情况显然是O（n ^ 2>，但我不知道如何分析其平均情况，这取决于平均输入分布？

Answer 1

步骤i中预期的插入次数为

sum_{t=0}^infinity (1-i/n)^t * (n-i)/n * t 
= (n-i)/n * i/n * (1-i/n)^{-2}
= i/(n-i)

总结i得到

sum_{i=0}^{n-1} i/(n-1)
>= sum_{i=n/2}^n i / (n-i) 
>= n/2 sum_{x=1}^n/2 1/x
>= n/2 * log(n) + O(n)

并且

sum_{i=0}^{n-1} i/(n-i)
<= n * sum _{x=1}^n 1/x
<= n * log(n) + O(n)

所以你得到的确是n*log(n)渐近的复杂性。这并不像你担心的那么糟糕。

关于进行线性搜索，我不知道如何在保持数组随机的情况下这样做。如果你真的想要一个有效的算法来改组你的数组，你应该看看Fisher-Yates shuffle。

Answer 2

首先考虑内循环。当数组中已存在i值时，我们何时能够获得第一次成功（找到未结头寸）？为此，我们使用geometric distribution：

Pr(X = k) = (1-p)^{k-1} p

p是尝试成功的概率。这里p是数组索引尚未填充的概率。有i个填充位置，因此p = (1 - (i/n)) = ((n - i)/n)。

从维基中，对几何分布的期望为1/p = 1 / ((n-i)/n) = n/(n-i)。因此，当数组中有(n / (n - i))项时，我们应该期望在内循环中进行i次尝试。

要填充数组，我们会在数组中包含i=0..n-1项时插入一个新值。我们期望整体尝试的数量是总和：

sum_{i=0,n-1} n/(n-i)
= n * sum_{i=0,n-1}(1/(n-i))
= n * sum_{i=0,n-1}(1/(n-i))
= n * (1/n + 1/(n-1) + ... + 1/1)
= n * (1/1 + ... + 1/(n-1) + 1/n)
= n * sum_{i=1,n}(1/i)

n的{{1}}倍，约为ln(n) + gamma，其中gamma是常量。总的来说，尝试次数约为n * (ln(n) + gamma)，即O(nlog n)。请记住，这只是期望，并且由于内部循环是随机的，因此没有真正的上限;它可能永远不会找到一个空位。

随机阵列插入的时间复杂度

2 个答案: