三边测量算法将3个圆圈尽可能靠近而不重叠

Question

我有两个圆圈完美地位于彼此的边界上。它们具有位置A和B（两个矢量），以及半径Ra和Rb。

现在我添加一个半径为Rc的第三个圆圈。如何找到位置矢量C，其中三个圆圈尽可能靠近放置而不重叠？

我写这个是为了建立一个网站的插图，所以提高效率的奖励点：）

编辑： 我最初发布时没有足够的代表发布插图。 其中两个圆圈（B和C）将重叠，但与C相切。我想将C移出与B共用的重叠区域，进入虚线。

编辑2： 对不起，我已经非常清楚，我已经创建了一个图表，试图解释我想要做的事情。

我在Pixi.js中创建了一个插图，这是一个简单的canvas / webGL库。我使用向量（通过Victor.js）定位圆圈并移动它们。

我随机生成一堆圆圈，然后我将最大的圆圈（A）放在容器的中间。在那之后，我想聚集A周围的所有圆圈，在碰撞发生时解决冲突。这很重要，因为我会在用户点击或悬停它们时缩放各个圈子。

对于没有碰撞的简单情况，矢量解决方案非常简单，我想解决两个圆以相同方式碰撞的情况。

Answer 1

答案是找到形成边长为三角形的点：Ra + Rb，Ra + Rc，Rb + Rc。这被称为三方解决，但你会得到2个可能的答案。

这里使用的基本公式是余弦定律： c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab * cos（gamma）

让我们将长度定义为：

1. La = Ra + Rb
2. Lb = Rb + Rc
3. Lc = Rc + Ra

我们首先要找到AB＆amp;的角度。 AC。解决arccos(a) = (Lb^2 + Lc^2 - La^2) / 2*Lb*Lc
（如果此时您已经具有AB的坐标系角度，则可以跳到第3步）

第二步是找到AB相对于X轴的坐标系角度。这是使用基本三角法完成的。找到高度h = Ay - By，角度为arcsin(b) = h / La。

第三步是添加或减去（2个答案！）角度a＆amp; b，这是从点A开始的向量的方向，其中点C位于距离Lc处。要找到C，再次使用三角法。

Cx = Ax + Lc * cos(a + b)
Cy = Ay + Lc * sin(a + b)

Answer 2

当圆圈相互接触时，中心之间的距离称为半径之和。求解这个方程组并找到Cx,Cy坐标。有两种可能的解决方案。当坐标原点放置在一个圆的中心时，解决方案更简单。

(Cx-Ax)^2 + (Cy-Ay)^2 = (Ra+Rc)^2
(Cx-Bx)^2 + (Cy-By)^2 = (Rb+Rc)^2

Answer 3

如果您假设第一个圈子（A）具有居中(0,0)，第二个圈子（B）居中于肯定x，则问题会得到简化-轴。如果情况并非如此，您可以将A的中心翻译为(0,0)，然后旋转平面以实现此目的。 （然后在最后反转这些操作以恢复原始配置。）

然后C的中心与A.R + C.R的中心相距A，C的中心距B.R + C.R距离B A.R的中心，其中B.R，C.R，A是圆B，C，C的半径。换句话说， x^2 + y^2 = (A.R + C.R)^2 (x-B.x)^2 + y^2 = (B.R + C.R)^2 的中心位于两个圆的交叉点

(B.x,0)

其中B是圈-2*B.x*x + B.x^2 = B.R^2 + 2*B.R*C.R - A.R^2 - 2*A.R*C.R 的中心。从第二个方程中减去第一个方程式

C

换句话说，x的中心有C.x = (A.R^2 + 2*A.R*C.R + B.x^2 - B.R^2 - 2*B.R*C.R)/(2*B.x) 坐标

C.x

现在我们已C.y，我们可以轻松计算C.y = plus or minus sqrt((A.R+C.R)^2 - C.x^2) ：

C

现在反转您在开头应用的变换（如果有的话）（首先反转旋转，然后反转平移），最后的中心为%>%。

如果您不想应用初始翻译和轮换，当然，您仍然可以解决问题，但代数有点混乱。