matlab微分方程

Question

我有以下微分方程，我无法解决。

我们知道以下关于等式：

D（r）是三年级多项式

D＆＃39;（1）= D＆＃39;（2）= 0

d（2）= 2D（1）

U（1）= 450

u＆＃39;（2）= - K *（u（2）-Te）

其中K和Te是常数。

我想用矩阵来近似问题，我设法解决了 类似的等式：具有与u（1）和u＆＃39;（2）相同的限制条件。 在这个等式上我接近你的概率。和你＆＃39;＆＃39;具有中心差异并且在r = 1到r = 2之间使用有限差分方法。然后我将结果放在matlab中的矩阵A和matlab中的向量Y中的极限条件下，并运行u = A \ Y来得到u值如何变化。继承了我设法解决的等式的matlab代码：

    clear
    a=1;
    b=2;
    N=100;
    h = (b-a)/N;
    K=3.20;
    Ti=450;
    Te=20;

    A = zeros(N+2);
    A(1,1)=1;
    A(end,end)=1/(2*h*K);
    A(end,end-1)=1;
    A(end,end-2)=-1/(2*h*K);


    r=a+h:h:b;

    %y(i)
    for i=1:1:length(r)
       yi(i)=-r(i)*(2/(h^2));
    end
    A(2:end-1,2:end-1)=A(2:end-1,2:end-1)+diag(yi);

    %y(i-1)
    for i=1:1:length(r)-1
        ymin(i)=r(i+1)*(1/(h^2))-1/(2*h);
    end
    A(3:end-1,2:end-2) = A(3:end-1,2:end-2)+diag(ymin);

    %y(i+1)
    for i=1:1:length(r)
       ymax(i)=r(i)*(1/(h^2))+1/(2*h);
    end
    A(2:end-1,3:end)=A(2:end-1,3:end)+diag(ymax);


    Y=zeros(N+2,1);
    Y(1) =Ti;
    Y(2)=-(Ti*(r(1)/(h^2)-(1/(2*h))));
    Y(end) = Te;
    r=[1,r];
    u=A\Y;
    plot(r,u(1:end-1));

我的问题是，如何解决第一个微分方程？

Answer 1

正如TroyHaskin在评论中指出的那样，人们可以将D确定为一个常数因子，并且该常数因子无论如何都会在D＆＃39; / D中取消。换句话说：我们可以假设D（1）= 1（一个方便的数字），因为D可以乘以任何常数。现在很容易找到系数（done with Wolfram Alpha），而多项式结果是

D（r）= -2r ^ 3 + 9r ^ 2-12r + 6

与导数D＆＃39;（r）= -6r ^ 2 + 18r-12。 （还有一种更聪明的方法可以从D＆＃39;开始找到多项式，它是已知根的二次方。）

我可能会立即使用这些信息，计算一阶导数的系数k：

r = a+h:h:b;
k = 1+r.*(-6*r.^2+18*r-12)./(-2*r.^3+9*r.^2-12*r+6);

似乎k在区间[1,2]上始终为正，因此如果要最小化对现有代码的更改，只需将r（i）替换为其中的r（i）/ k（i）。

顺便说一句，而不是像

这样的循环

for i=1:1:length(r)
   yi(i)=-r(i)*(2/(h^2));
end

一个人通常只是

yi=-r*(2/(h^2));

这个矢量化使代码更紧凑，也可以使性能受益（在你的例子中，解决线性系统是瓶颈）。另一个好处是yi被正确初始化，而在你的循环结构中，如果yi恰好已经存在且长度大于length（r），则生成的数组将具有无关的条目。 （这是难以追踪的错误的潜在来源。）