Question

我在算法设计中有一个关于复杂性的问题。在这个问题中给出了一段代码，我应该计算这段代码的复杂性。伪代码是：

for(i=1;i<=n;i++){
    j=i
    do{
        k=j;
        j = j / 2;
    }while(k is even);
}

我为一些数字尝试了这个算法。我得到了不同的结果。例如，如果n = 6，则此算法输出如下所示

i = 1 -> executes 1 time
i = 2 -> executes 2 times
i = 3 -> executes 1 time
i = 4 -> executes 3 times
i = 5 -> executes 1 time
i = 6 -> executes 2 times

它没有常规主题，我该如何计算？

Answer 1

其他答案给出的上限实际上太高了。该算法具有O（n）运行时，其上限比O（n * logn）更严格。

证明：让我们计算内循环将执行的总迭代次数。

外循环运行n次。内部循环至少运行一次。

对于偶数i，内循环运行至少两次。这种情况发生n/2次。
对于可被4整除的i，内循环至少运行三次。这种情况发生n/4次。
对于可被8整除的i，内循环至少运行四次。这种情况发生n/8次。
...

因此内循环运行的总次数为：

n + n/2 + n/4 + n/8 + n/16 + ... <= 2n

内循环迭代的总量在n和2n之间，即它是Θ（n）。

Answer 2

你总是假设你在每个级别都遇到了最糟糕的情况。
现在，你迭代一个包含N个元素的数组，所以我们先从O(N)开始现在假设你的i总是等于X而X总是均匀（记住，每次都是最坏的情况）。你需要划分多少次{{1通过X获取2？（当偶数达到1时，这是偶数停止除法的唯一条件。）换句话说，我们需要解决这个问题 1 X/2^k = 1和X=2^k k=log<2>(X) 这使我们的算法采用O(n log<2>(X))步骤，可以很容易地写成O(nlog(n))

Answer 3

对于这样的循环，我们不能分离内循环和外循环的计数 - ＆gt;变量被收紧了！

因此，我们必须统计所有步骤。

事实上，对于外循环的每次迭代（在angular.module('appName') .service('GetDataService', function($http, $q WebServiceURL) { this.getData = function(ServiceParameter) { var defer = $q.defer(); $http.get(WebServiceURL + ServiceParameter) .then(function(res){ defer.resolve(res.data); }, function (err) { defer.reject(err)}); return defer.promise; };上），我们将有

其中1 + v_2(i) steps是2-adic估值（例如参见：http://planetmath.org/padicvaluation），其对应于v_2的素因子分解中2的幂。

因此，如果我们为所有i添加步骤，我们会得到以下步骤的总数：

然后我们看到步数完全：

n_steps = \sum_{i=1}^{n} (1 + v_2(i)) 
        = n + v_2(n!)    // since v_2(i) + v_2(j) = v_2(i*j)
        = 2n - s_2(n)    // from Legendre formula (see http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_formula with `p = 2`)

由于n_steps = 2n - s_2(n)是基数s_2(n)中n的数字之和，因此可以忽略不计（最多2，因为基数log_2(n)中的数字是与2相比，0或1以及最多log_2(n)个数字。

因此，算法的复杂性等同于n：

不许多其他解决方案中陈述的n_steps = O(n)，但数量较少！

Answer 4

让我们从最坏的情况开始：

如果你继续除以2（积分），你不需要停下来直到你得到1.基本上使步数取决于位宽，你发现使用两个对数的东西。所以内部是log n。外部显然是n，所以总共N log N。

Answer 5

do循环将j减半，直到k变为奇数。 k最初是j的副本，是i的副本，因此do运行1 {+ {1}}的权力，其中2除以：

i = 1是奇数，所以它通过i循环，
i = 2除以2，因此1 + 1，
i = 4除以2，因此1 + 2等

这最多可以执行1 + log（i）do次（以2为基数的对数）。

do循环从{1}到for迭代i，因此上限为n次（1 + log n），即O（n log n））。

一段代码的大O复杂性

5 个答案: